一、平行四邊形
【知識梳理】
1、掌握平行四邊形的概念和性質
2、四邊形的不穩定性．
3、掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件．
4、能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明．
【例題精講
例題1.下列命題中錯誤的是（ ）
a．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
b．對角線相等的平行四邊形是矩形
c．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
d．一組對邊平行的四邊形是梯形
例題2.如圖，在四邊形abcd中，e是bc邊的中點，鏈結de並延長，交ab的延長線於f點，．新增乙個條件，使四邊形abcd是平行四邊形．你認為下面四個條件中可選擇的是（ ）
a． b． c． d．
例題3．如圖，是四邊形的對角線上兩點，．
求證：（1）．（2）四邊形是平行四邊形．
【當堂檢測】
1．如圖，乙個四邊形花壇，被兩條線段分成四個部分，分別種上紅、黃、紫、白四種花卉，種植面積依次是，若，，則有（ ）
a． b． c． d．都不對
2．如圖，在平行四邊形中,於e且是一元二次方程的根，則平行四邊形的周長為（ ）
a． b． c． d．
鞏固提高：
3．(2023年海南)如圖1，在abcd中，ac與bd相交於點o，則下列結論不一定成立的是( )
a．bo＝do b．cd＝ab c．∠bad＝∠bcd d．ac＝bd
圖1圖2圖3圖4 圖5
4．如圖2，在abcd中，ad＝2ab，ce平分∠bcd，並交ad邊於點e，且ae＝3，則ab的長為( )
a．4 b．3 c. d．2
5．若以a(－0.5,0)，b(2,0)，c(0,1)三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在( )
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
6．如圖3，abcd的周長為36，對角線ac，bd相交於點o，點e是cd的中點，bd＝12，則△doe的周長為
7．如圖4，abcd與dcfe的周長相等，且∠bad＝60°，∠f＝110°，則∠dae的度數為
8．如圖5，順次連線四邊形 abcd四邊的中點e，f，g，h，則四邊形 efgh 的形狀一定是
9．已知乙個多邊形的內角和是外角和的，則這個多邊形的邊數是________．
10．(2023年四川南充)如圖6，在平行四邊形abcd中，對角線ac，bd交於點o，經過點o的直線交ab於e，交cd於f.求證：oe＝of.
圖611．(2023年福建漳州)如圖7，在abcd中，e，f是對角線bd上兩點，且be＝df.
(1)圖中共有______對全等三角形；
(2)請寫出其中一對全等三角形並加以證明．
圖712．(2023年廣東廣州)如圖8，已知四邊形abcd是平行四邊形，把△abd沿對角線bd翻摺180°得到△a′bd.
(1)利用尺規作出△a′bd(要求保留作圖痕跡，不寫作法);
(2)設da′與bc交於點e，求證：△ba′e≌△dce.
圖813．如圖9，在abcd中，延長da到點e，延長bc到點f，使得ae＝cf，連線ef，分別交ab，cd於點m，n，連線dm，bn.
(1)求證：△aem≌△cfn；
(2)求證：四邊形bmdn是平行四邊形．
圖9二、特殊平行四邊形
【知識梳理】
1．矩形的性質：（1）矩形的四個角都是直角；（2）矩形的對角線相等.
2. 矩形的判定：（1）有乙個角是90°的平行四邊形；（2）三個角是直角的四邊形；（3）對角線相等的平行四邊形.
3. 菱形的性質：（1）四邊相等；（2）對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角.
4.菱形的判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形；（2）四邊相等的四邊形；
（3）對角線互相垂直的平行四邊形.
5.正方形的性質：正方形具有矩形和菱形的性質.
6.正方形的判定：（1）一組鄰邊相等的矩形；（2）有乙個角是直角的菱形.
相關延伸
1、 直角三角形斜邊中線：a、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的________；
2、 三角形中一邊上的中線等於這一邊的一半時，這個三角形是
3、關於對角線垂直的四邊形面積公式：四邊形的面積等於的一半。
【例題精講
例題1. 將平行四邊形紙片abcd按如圖方式摺疊，使點c與a重合，點d落到d′ 處，摺痕為ef．（1）求證：△abe≌△ad′f；
（2）連線cf，判斷四邊形aecf是什麼特殊四邊形？證明你的結論.
例題2.如圖，正方形abcd和正方形a′ob′c′是全等圖形，則當正方形a′ob′c′繞正方形abcd的中心o順時針旋轉的過程中．
（1）證明：cf=be；（2）若正方形abcd的面積是4，求四邊形oecf的面積．
例題3.如圖，將矩形紙片abcd沿對角線ac摺疊，使點b落到點b′的位置，ab′與cd交於點e.
（1）試找出乙個與△aed全等的三角形，並證明.
（2）若ab=8，de=3，p為線段ac上的任意一點，pg⊥ae於g，ph⊥ec於h，試求pg+ph的值，並說明理由.
例4. 如圖，四邊形中，，平分，交於．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若點是的中點，試判斷的形狀，並說明理由．
例5. 如圖12，b、c、e是同一直線上的三個點，四邊形abcd與四邊形cefg是都是正方形.連線bg、de.求證：bg=de。
【當堂檢測】
1．(2023年福建漳州)用下列一種多邊形不能鋪滿地面的是( )
a．正方形 b．正十邊形 c．正六邊形 d．等邊三角形
2．(2023年湖南長沙)下列多邊形中，內角和與外角和相等的是( )
a．四邊形 b．五邊形 c．六邊形 d．八邊形
3. 如果菱形的邊長是a，乙個內角是60°，那麼菱形較短的對角線長等於（ ） a．a b．a c．a d．a
4.在菱形abcd中，ab = 5，∠bcd =120°，則對角線ac等於（ ）
a．20 b．15 c．10 d．5個 c．1個 d．0個
5. 如圖，矩形紙片abcd中，ab=4，ad=3，摺疊紙片使ad邊與對角線bd重合，摺痕為dg，則ag的長為（ ）
a．1 b． c． d．2
6. 如圖，在菱形abcd中，∠a=110°，e，f分別是邊ab和bc的中點，ep⊥cd於點p，求∠fpc的度數.
能力提公升
（一） 選擇題
1、下列說法正確的是（ ）
a．對角線相等且互相平分的四邊形是菱形 b．對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形
c．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形 d．對角線相等的四邊形是等腰梯形
2、順次連線菱形各邊中點所得的四邊形一定是（ ）
a.等腰梯形 b.正方形 c.平行四邊形 d.矩形
3、如圖, e、f分別是正方形abcd的邊cd、ad上的點，且ce＝df，ae、bf相交於點o，下列結論①ae＝bf；②ae⊥bf；③ao＝oe；④s△aob＝s四邊形deof中，錯誤的有（ ）
a．1個 b．2個c．3個d．4個
5、如圖，菱形abcd中，∠b＝60°，ab＝2，e、f分別是bc、cd的中點，連線ae、ef、af，則△aef的周長為（ ）
a． b． c． d．
（二）填空題
1、如圖，已知p是正方形abcd對角線bd上一點，且bp = bc，則∠acp度數是
2、如圖，矩形abcd中，ab＝2，bc＝3，對角線ac的垂直平分線分別交ad，bc於點e、f，連線ce，則ce的長
3、如圖矩形abcd中，ab＝8㎝，cb＝4㎝， e是dc的中點，bf＝bc，則四邊形dbfe的面積為
1、 如圖，兩張寬為1cm的矩形紙條交叉疊放，其中重疊部分部分是四邊形 abcd,已知∠bad=60°則重疊部分的面積是 cm．
（三）解答題
1、如圖所示，矩形abcd中，m是bc的中點，且ma⊥md，若矩形的周長為36cm，求此矩形的面積。
2、已知：如圖所示，e、f分別是正方形的邊bc、dc上的點，且∠eaf＝45°，
求證：be＋df＝ef
3、如圖,已知:在四邊形abfc中，=90的垂直平分線ef交bc於點d,交ab於點e,且cf=ae
(1) 試**,四邊形becf是什麼特殊的四邊形;
(2) 當的大小滿足什麼條件時,四邊形becf是正方形?請回答並證明的結論.
(特別提醒:表示角最好用數字)
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