《平行四邊形》導航
一、學習目標：
二、知識梳理：
1．性質：
按邊、角、對角線三方面分類記憶．
平行四邊形的性質此外：周長問題、面積問題
另外，由「平行四邊形兩組對邊分別相等」的性質，可推出下面的推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等．
注:平行四邊形是一種特殊而又比較簡單的一類四邊形，但它有許多的重要性質，如，對邊相等、對角相等、對角線互相平分等性質等等．利用平行四邊形的這些性質可以證明許多的幾何結論．1、證明線段相等. 2、證明兩線平行 3、證明兩角相等.
4、證明面積相等 5、證明線段倍半. 6、證明線段和差.
2．判定方法：
同樣按邊、角、對角線三方面分類記憶．
邊 角：兩組對角分別相等
對角線：對角線互相平分
注：證明乙個四邊形是平行四邊形的思路： 1、當已知條件出現在四邊形的一組對邊上時，考慮採用「兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形」或「一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形」． 2、當已知條件出現在四邊形的對角線上時，考慮採用「兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
3、當已知條件出現在四邊形是對角上時，考慮「採用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形」．
3．注意的問題：平行四邊形的判定定理，有的是相應性質定理的逆定理． 學習時注意它們的聯絡和區別，對照記憶．模擬思想
三、基本思想方法：研究平行四邊形問題的基本思想方法是轉化法，即把平行四邊形的問題轉化為三角形全等及平移、旋轉和對稱圖形的問題來研究．
四、平行四邊形知識的運用是證明矩形、菱形、正方形的基礎
1．直接運用平行四邊形的性質解決某些問題. 如求角的度數、線段的長度、證明角相等或互補、證明線段相等或倍分關係等；
2．判定乙個四邊形是平行四邊形，從而判定直線平行等；
3．先判定乙個四邊形是平行四邊形，再利用其性質去解決某些問題．
《特殊平行四邊形》之一---矩形
一、定義：有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
注：定義中矩形必須滿足兩個條件：1、首先是平行四邊形，2、有乙個角是直角.
二．矩形的性質
1.具有平行四邊形的所有性質．（邊、角、對角線）
2.特有性質：
（1）矩形的四個角都是直角（90度）.
（2）矩形對角線相等．
（3）矩形是軸對稱圖形，有2條對稱軸.也是中心對稱圖形.
注：矩形對角線把矩形分成：4個大全等直角三角形，4個小等腰三角形。
三. 矩形的判定
矩形定義：有乙個內角是直角的平行四邊形叫做矩形．
(1)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形．
(2)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩在.
注：判定乙個四邊形是不是矩形，有兩種思路：一種是在平行四邊形前提下判定，看它乙個內角是不是直角，或看對角線是否相等。
二種是在四邊形基礎上判定，看它有沒有三個角是直角，或先證出是平行四邊形在判斷。
注意：①用定義判定乙個四邊形是矩形必須同時滿足兩個條件，即一是有乙個角是直角；二是平行四邊形，也就是說有一角是直角的四邊形，不是矩形.
②用定理2證明乙個四邊形是矩形，也必須滿足兩個條件：一是對角線相等，二是平行四邊形．也就說明：兩務對角線相等的四邊形不是矩形.
直角三角形斜邊上的中線
一、直角三角形斜邊上的中線性質定理：
直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
注：1. 揭示了直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數量關係（倍分關係），它是研究線段倍分關係的基礎，是常用輔助線．其逆命題也成立.
2.與其有聯絡的----含有30度角的直角三角形性質，也體現倍分關係. 其逆命題也成立.
《特殊平行四邊形》之二---菱形
一. 定義：
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
注意：菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．
二．菱形的性質
1.具有平行四邊形的一切性質.
2.特有性質：
(1)菱形的四條邊都相等.
(2)菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角.
(3)菱形是軸對稱圖形，有2條對稱軸.也是中心對稱圖形.
(4)菱形面積=底×高=對角線乘積的一半.
注：菱形對角線把菱形分成：4個小全等直角三角形，4個大等腰三角形。
3．菱形的判定
(1)定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
(2)判定定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
(3)判定定理2：．四邊都相等的四邊形是菱形．
注：判定乙個四邊形是不是菱形，有兩種思路：一種是在平行四邊形前提下判定，再證一組鄰邊相等，或看對角線是否垂直。
二種是在四邊形基礎上判定，看它四條邊是否相等，或先證出是平行四邊形再判斷。
注意：對角線互相垂直的四邊形不是菱形，必須加上平行四邊形這個條件，它才是菱形.
最完美的平行四邊形---正方形
一. 定義：
正方形的定義我們可以分成兩部分來理解：
（1）有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形．
（2）有乙個角是直角的菱形叫做正方形．
二．正方形性質
正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質.
(1)邊——四邊相等，鄰邊垂直.
(2)角——四角都是直角.
(3)對角線——①相等②互相垂直平分③每條對角線平分一組對角（45度）.
(4)是軸對稱圖形，有4條對稱軸.
注：正方形對角線把正方形分成：8個等腰直角三角形。
三、 正方形的判定方法：（新增乙個矩形、菱形不具備的性質）
①先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或對角線垂直.
②先證它是菱形，再證它有乙個角為直角或對角線相等.
1.正方形與矩形、菱形、平行四邊形的包含關係
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，其中正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關係如圖.
2.中點四邊形與原四邊形的關係
依次連線對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；依次連線對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；依次連線對角線相等且垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是正方形．
3.利用特殊平行四邊形的性質和判定可以解決哪些問題?
可解決證明線段相等及倍分、角相等及倍分、直線平行、垂直、證明乙個四邊形是特殊平行四邊形及有關計算等問題和一些開放性問題.
4.基本思想方法：
(1). 研究平行四邊形、矩形、菱形、正方形問題的基本思想方法是轉化法，即把平行四邊形的問題轉化為三角形及平移、旋轉和對稱圖形的問題來研究．
(2) 作輔助線，構造平行四邊形、矩形、菱形、正方形解決問題.
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