一、引言：
本講主要學習掌握二元一次不等式（組）表示平面區域的方法：直線定界，代點定域；了解線性規劃問題的**法及其應用；領悟觀察、畫圖及探索問題的能力，滲透數形結合思想．本講重點是：**法求解線性規劃問題的步驟；本講難點是：
準確求得線性規劃問題的最優解．
本講考綱要求為：會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組；會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決．
本講命題方向為：本講主要考查二元一次不等式表示平面區域，線性規劃的意義及簡單的應用，考查數形結合的數學思想．從題型上來看以選擇、填空居多．除考查**法求解線性規劃問題的方法外，線性規劃的應用題也是高考的熱點，諸如求面積、距離、引數取值的問題經常出現．
二、考點梳理
1．二元一次不等式表示平面區域．
（1）一般地，二元一次不等式在平面直角座標系中表示直線某一側的所有點組成的平面區域（半平面）不含邊界線；不等式所表示的平面區域（半平面）包括邊界線．
（2）判定不等式（或）所表示的平面區域時，只要在直線的一側任意取一點，將它的的座標代入不等式,如果該點的座標滿足不等式，不等式就表示該點所在一側的平面區域；如果不滿足不等式，就表示這個點所在區域的另一側平面區域．
（3）由幾個不等式組成的不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部分．
2．線性規劃問題的**法：
（1）基本概念
（2）用**法解決線性規劃問題的一般步驟
①根據題意，設出變數、；
②找出線性約束條件；
③確定線性目標函式；
④畫出可行域（即各約束條件所示區域的公共區域）；
⑤利用線性目標函式作平行直線系（為引數）；
⑥觀察圖形，找到直線在可行域上使取得欲求最值的位置，以確定最優解，給出答案．
三、典型例題選講
題型1：二元一次不等式組表示的平面區域
例1 畫出下列不等式（或不等式組）表示的平面區域．
（1）；（2）；(3)；(4)．
解：(1)先畫出直線（畫線虛線），代入原點座標（0，0）得，∴原點在不等式表示的平面區域內，不等式表示的平面區域如圖中陰影部分．
(2)不等式表示直線上及右下方的平面區域，表示直線上及右上方的平面區域，表示直線上及左方的平面區域，所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分．
(3)不等式等價於不等式組
或矛盾，故點在一帶形區域內（含邊界）．所以原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分．
(4)由，得；當時，有，點在一條形區域內(邊界)；當，由對稱性得出原不等式表示的平面區域如圖中的陰影部分．
歸納小結：第(2)題中不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分．第(3)題中轉化為等價的不等式組，把非規範形式等價轉化為規範不等式組形式便於求解；第(4)題中注意到不等式的傳遞性，由，得，又用代，不等式仍成立，區域關於軸對稱．
例2（2008湖北文）在平面直角座標系中，滿足不等式組的點的集合用陰影部分表示為下列圖中的（ ）
解：在座標系裡畫出圖象，c為正確答案．也可取點座標檢驗判斷．
歸納小結：畫平面區域時作圖要盡量準確，要注意邊界．
題型2：線性規劃問題
例3 設，式中變數x、y滿足條件，求的最大值和最小值．
解：由題意，變數所滿足的每個不等式都表示乙個平面區域，不等式組則表示這些平面區域的公共區域．由圖知，原點不在公共區域內，當時，，即點在直線：上，作一組平行於的直線：
，，可知：當在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大．
由圖可知，當直線經過點時，對應的最大，
當直線經過點時，對應的最小，所以，，．
歸納小結：**法解決線性規劃問題時，根據約束條件畫出可行域是關鍵的一步．一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的非封閉平面區域．第二是畫好線性目標函式對應的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關係要判斷準確．通常最優解在可行域的頂點（即邊界線的交點）處取得，但最優整數解不一定是頂點座標的近似值．它應是目標函式所對應的直線平移進入可行域最先或最後經過的那一整點的座標．
例4 求不等式組的整數解．
解：設，，，，，，則，，．於是看出區域內點的橫座標在內，取＝1，2，3，當＝1時，代入原不等式組有，得＝－2，∴區域內有整點(1,-2)．同理可求得另外三個整點(2,0)，(2,-1)，(3,-1)．
歸納小結：求不等式的整數解即求區域內的整點是教學中的難點，它為線性規劃中求最優整數解作鋪墊．常有兩種處理方法，一種是通過打出網格求整點；另一種是本題解答中所採用的，先確定區域內點的橫座標的範圍，確定的所有整數值，再代回原不等式組，得出的一元一次不等式組，再確定的所有整數值，即先固定，再用制約．
例5 （1）（2007安徽）如果點在平面區域上，點在曲線上，那麼的最小值為（ ）
解：依題意作圖，則為圓到直線的距離減去半徑的長，計算得，故選a．
（2）（2008安徽理）若為不等式組表示的平面區域，則當從－2連續變化到1時，動直線掃過中的那部分區域的面積為( )
a． b．1 c． d．5
解：如圖知區域的面積是△oab去掉乙個小直角三角形．
（陰影部分面積比1大，比小,故選c,不需要算出來）
（3）（2007北京理）若不等式組表示的平面區域是乙個三角形，則的取值範圍是（ ）
ａ．ｂ．
ｃ．ｄ．或
解：約束條件的可行域是如圖所示的陰影區域，觀察得或．故選d．
（4）(2009山東理)設x，y滿足約束條件， 若目標函式（>0，>0）的值是最大值為12，則的最小值為( )．
a． b． c． d．4
解:不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線（>0，>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標函式z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, =,
故選a．
歸納小結： 線性規劃的應用也是高考的熱點，諸如求面積、距離、引數取值的問題經常出現．在解題時要求能準確地畫出不等式表示的平面區域,並且能夠求得目標函式的最值,要注意基本不等式的綜合使用．
題型3：線性規劃應用問題
例6(2009山東文)某公司租賃甲、乙兩種裝置生產a,b兩類產品,甲種裝置每天能生產a類產品5件和b類產品10件,乙種裝置每天能生產a類產品6件和b類產品20件．已知裝置甲每天的租賃費為200元,裝置乙每天的租賃費為300元,現該公司至少要生產a類產品50件,b類產品140件,所需租賃費最少為元． ．
解:設甲種裝置需要生產天, 乙種裝置需要生產天, 該公司所需租賃費為元,則，甲、乙兩種裝置生產a,b兩類產品的情況為下表所示:
則滿足的關係為即 ．
作出不等式表示的平面區域,當對應的直線過兩直線的交點(4,5)時，目標函式取得最低為2300元． ．
歸納小結：本題是線性規劃的實際應用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關係,最好是列成**,找出線性約束條件,寫出所研究的目標函式,通過數形結合解答問題．
例7 某人上午7時，乘摩托艇以勻速vkm/h（4≤v≤20）從港出發到距50km的港去，然後乘汽車以勻速wkm/h（30≤w≤100）自港向距300km的市駛去，應該在同一天下午4至9點到達市． ． 設乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是xh、yh
（1）作圖表示滿足上述條件的、範圍；
（2）如果已知所需的經費（元），那麼v、w分別是多少時走得最經濟？此時需花費多少元?
分析：由可知影響花費的是的取值範圍
解：（1）依題意得v=，w=，4≤v≤20，30≤w≤100
∴3≤≤10，≤≤①
由於乘汽車、摩托艇所需的時間和應在9至14個小時之間，
即9≤≤14． ． ②
因此，滿足①②的點的存在範圍是圖中陰影部分（包括邊界）．
（2）∵，∴=131．
設131，那麼當k最大時，最小．在通過圖中的陰影部分區域（包括邊界）且斜率為－的直線中，使k值最大的直線必通過點（10，4），即當，時，最小．此時，v，w=30，的最小值為93元．
歸納小結：線性規劃問題首先要根據實際問題列出表達約束條件的不等式，然後分析要求量的幾何意義，然後畫出可行域，在可行域內求得使目標函式取得最值的解，最後，要根據實際意義將數學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優解．
例8 某礦山車隊有4輛載重量為10t的甲型卡車和7輛載重量為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次．甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元．問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?
分析：弄清題意，明確與運輸成本有關的變數的各型車的輛數，找出它們的約束條件，列出目標函式，用**法求其整數最優解．
解：設每天派出甲型車輛、乙型車輛，車隊所花成本費為z元，那麼
作出不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖所示．
作出直線：，把直線向右上方平移，使其經過可行域上的整點，且使在軸上的截距最小．觀察圖形，可知當直線經過點（2，5）時，滿足上述要求．
此時，取得最小值，即，時，=252×2+160×5=1304．
答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低．
歸納小結：要完成一項確定的任務,如何統籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規劃中最常見的問題之一．用**法解線性規劃題時，求整數最優解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系的斜率要畫準，可行域內的整點要找準，最好使用「網點法」先作出可行域中的各整點．
二元一次不等式
二元一次不等式 組 與平面區域 一 課標與考綱要求 1.知識與技能 鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域 能根據 實際問題中的已知條件，找出約束條件 2.過程與方法 經歷把實際問題抽象為數學問題的過程，體會集合 化歸 數形結合 的數學思想 3.情態與價值 結合教學內容，培養學生學習數...
不等式第3講二元一次不等式 組 與簡單的線性規劃問題
1 考查二元一次不等式組表示的區域面積和目標函式最值 或取值範圍 2 考查約束條件 目標函式中的參變數的取值範圍 複習指導 1 掌握確定平面區域的方法 線定界 點定域 2 理解目標函式的幾何意義，掌握解決線性規劃問題的方法 法 注意線性規劃問題與其他知識的綜合 基礎梳理 1 二元一次不等式表示的平面...
《二元一次不等式 組 與平面區域》學案
教學目標 1 知識與技能 了解二元一次不等式的幾何意義，會用二元一次不等式組表示平面區域 2 過程與方法 經歷從實際情境中抽象出二元一次不等式組的過程，提高數學建模的能力 教學重點 用二元一次不等式 組 表示平面區域 教學難點 教學過程 1.課題匯入 1 從實際問題中抽象出二元一次不等式 組 的數學...