三角形教學目標1、理解並掌握三角形及三角形的重要線段的概念；
2、掌握三角形的三邊間的關係；
3、會利用三角形的內角和定理及外角公式計算角度。
難點重點1、熟練掌握三角形的三條重要線段；
2、會靈活運用內角和定理及外角公式計算角度
一、知識點梳理
(1) 三角形的定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
(2) 三角形的分類.
(3) 三角形的三邊關係：
三角形任意兩邊之和大於第三邊,任意兩邊之差小於第三邊.
(4) 三角形的重要線段
三角形的中線：頂點與對邊中點的連線,三條中線交點叫重心
三角形的角平分線：內角平分線與對邊相交,頂點和交點間的線段,三個角的角平分線的交點叫內心
三角形的高：頂點向對邊作垂線,頂點和垂足間的線段.三條高的交點叫垂心(分銳角三角形,鈍角三角形和直角三角形的交點的位置不同)
（5）三角形具有穩定性
（6）三角形的內角和定理及性質
定理：三角形的內角和等於180°.
推論1：直角三角形的兩個銳角互補。
推論2：三角形的乙個外角等於不相鄰的兩個內角的和。
推論3：三角形的乙個外角大於與它不相鄰的任何乙個內角。
（7）多邊形的外角和恒為360°。
全等三角形知識梳理
一、知識網路
二、基礎知識梳理
（一）、基本概念
1、「全等」的理解全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；
即能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性質
（1）全等三角形對應邊相等；（2）全等三角形對應角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三邊對應相等的兩個三角形全等。
（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。
（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。
（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。
（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
4、角平分線的性質及判定
性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
判定：到乙個角的兩邊距離相等的點在這個角平分線上
（二）靈活運用定理
1、判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。
2、要善於發現和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。
3、要善於靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等。
（1）已知條件中有兩角對應相等，可找：
①夾邊相等（asa）②任一組等角的對邊相等(aas)
（2）已知條件中有兩邊對應相等，可找
①夾角相等(sas)②第三組邊也相等(sss)
（3）已知條件中有一邊一角對應相等，可找
①任一組角相等(aas 或 asa)②夾等角的另一組邊相等(sas)
證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：
1.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關係）；
2.回顧三角形判定公理，搞清還需要什麼；3.正確地書寫證明格式（順序和對應關係從已知推導出要證明的問題）。
常見考法
（1）利用全等三角形的性質：①證明線段（或角）相等；②證明兩條線段的和差等於另一條線段；③證明面積相等；
（2）利用判定公理來證明兩個三角形全等；
（3）題目開放性問題，補全條件，使兩個三角形全等。
誤區提醒
（1）忽略題目中的隱含條件；
（2）不能正確使用判定公理。
軸對稱變換
[軸對稱變換]
由乙個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換．
成軸對稱的兩個圖形中的任何乙個可以看著由另乙個圖形經過軸對稱變換後得到．
[軸對稱變換的性質]
（1）經過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣
（2）經過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關於對稱軸的對稱點．
（3）連線任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．
[作乙個圖形關於某條直線的軸對稱圖形]
（1）作出一些關鍵點或特殊點的對稱點．
（2）按原圖形的連線方式連線所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形．
用座標表示軸對稱
[關於座標軸對稱]
點p（x，y）關於x軸對稱的點的座標是（x，-y）
點p（x，y）關於y軸對稱的點的座標是（-x，y）
[關於原點對稱]
點p（x，y）關於原點對稱的點的座標是（-x，-y）
[關於座標軸夾角平分線對稱]
點p（x，y）關於第
一、三象限座標軸夾角平分線y=x對稱的點的座標是（y，x）
點p（x，y）關於第
二、四象限座標軸夾角平分線y= -x對稱的點的座標是（-y，-x）
[關於平行於座標軸的直線對稱]
點p（x，y）關於直線x=m對稱的點的座標是（2m-x，y）；
點p（x，y）關於直線y=n對稱的點的座標是（x，2n-y）；
等腰三角形
[等腰三角形]
有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．
[等腰三角形的性質]
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成「等邊對等角」）
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．
特別的：（1）等腰三角形是軸對稱圖形.
（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應相等.
[等腰三角形的判定定理]
如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡寫成「等角對等邊」）．
特別的：
（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有兩邊上的角平分線對應相等的三角形是等腰三角形．
（3）有兩邊上的中線對應相等的三角形是等腰三角形．
（4）有兩邊上的高線對應相等的三角形是等腰三角形．
[利用「三角形奠基法」作圖]
根據已知條件先作出乙個與所求圖形相關的三角形，然後再以這個圖形為基礎，作出所求的三角形.
等邊三角形
[等邊三角形]
三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．
[等邊三角形的性質]
等邊三角形的三個內角都相等，並且每乙個內角都等於60°
[等邊三角形的判定方法]
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；
（3）有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
角平分線的性質
[角平分線的作法]
見課本[角平分線的性質]
在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
∵op平分∠aob，pm⊥oa於m，pn⊥ob於n，
∴pm=pn
[角平分線的判定]
到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
∵pm⊥oa於m，pn⊥ob於n，pm=pn
∴op平分∠aob
[三角形的角平分線的性質]
三角形三個內角的平分線交於一點，並且這一點到三邊的距離相等．
[新增輔助線口訣]
幾何證明難不難，關鍵常在輔助線；
知中點、作中線，倍長中線把線連.
線段垂直平分線，常向兩端來連線.
線段和差及倍分，延長擷取全等現；
公共角、公共邊，隱含條件要挖掘；
平移對稱加旋轉，全等圖形多變換.
角平分線取一點，可向兩邊作垂線；
也可將圖對折看，對稱之後關係現；
角平分線加平行，等腰三角形來添；
角平分線伴垂直，三線合一試試看。
勾股定理知識總結
一．基礎知識點：
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關係a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關係，若c2＝a2+b2，則△abc是以∠c為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則△abc是以∠c為鈍角的鈍角三角形；若c2（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯絡
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯絡：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
4：互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
5：勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為所以
方法三：，，化簡得證
6：勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
③用含字母的代數式表示組勾股數：（為正整數）；
（為正整數）（，為正整數）
二、規律方法指導
1．勾股定理的證明實際採用的是圖形面積與代數恒等式的關係相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關係，可以用於解決求解直角三角形邊邊關係的題目。
3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。
初中幾何知識點梳理
1 過兩點有且只有一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的餘角相等 5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點與直線上各點連線的所有線段中,垂線段最短 7 經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也...
初中數學 幾何 知識點總結
5 平行四邊形的面積 考點三 矩形 1 矩形的概念 2 矩形的性質 3 矩形的判定 4 矩形的面積 s矩形 長 寬 ab 考點四 菱形 1 菱形的概念 2 菱形的性質 3 菱形的判定 4 菱形的面積 考點五 正方形 1 正方形的概念 2 正方形的性質 3 正方形的判定 4 正方形的面積 考點六 梯形...
初中數學 幾何 知識點總結
一 平行線 1 平行線的判定 1 同位角相等 2 內錯角相等 3 同旁內角互補 4 平行於同一直線的兩直線 5 在同一平面內，垂直於同一直線的兩條直線 判定兩直線是否平行 首先要判斷已知的這兩角是不是這兩直線被第三條直線所截形成的三線八角中的三種角中的一種，再根據平行線的識別方法判斷 若已知的兩角不...