[備考方向要明了]
[歸納·知識整合]
1．二元一次不等式表示的平面區域
(1)一般地，在平面直角座標系中，二元一次不等式ax＋by＋c＞0表示直線ax＋by＋c＝0某一側的所有點組成的平面區域(半平面)不包括邊界直線．
不等式ax＋by＋c≥0所表示的平面區域(半平面)包括邊界直線．
(2)對於直線ax＋by＋c＝0同一側的所有點(x，y)，使得ax＋by＋c的值符號相同，也就是位於同一半平面的點，其座標適合ax＋by＋c＞0；而位於另乙個半平面內的點，其座標適合ax＋by＋c＜0.
(3)可在直線ax＋by＋c＝0的某一側任取一點，一般取特殊點(x0，y0)，從ax0＋by0＋c的符號來判斷ax＋by＋c>0(或ax＋by＋c<0)所表示的區域．
(4)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區域，是各個不等式所表示的平面區域的公共部分．
2．線性規劃中的基本概念
[**] 1.點p1(x1，y1)和p2(x2，y2)位於直線ax＋by＋c＝0的兩側的充要條件是什麼？
提示：(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)<0.
2．可行解與最優解有何關係？最優解是否唯一？
提示：最優解必定是可行解，但可行解不一定是最優解，最優解不一定唯一．
[自測·牛刀小試]
1．(教材習題改編)不等式x－2y＋6<0表示的區域在直線x－2y＋6＝0的( )
a．右上方b．右下方
c．左上方 d．左下方
解析：選c 畫出圖形如圖所示，可知該區域在直線
x－2y＋6＝0的左上方．
2．(教材習題改編)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角座標平面內表示的區域(用陰影部分表示)，應是下列圖形中的( )
解析：選c (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0
或3．如圖所示，陰影部分表示的區域可用二元一次不等式組表示的是( )
a. b.
c. d.
解析：選a 兩條直線方程為：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0.
將點(1,1)代入x＋y－1得1>0，代入x－2y＋2得1>0，即點(1,1)在x－2y＋2≥0的內部，在x＋y－1≥0的內部，故所求二元一次不等式組為
4．下列各點中，與點(1,2)位於直線x＋y－1＝0的同一側的是( )
a．(0,0b．(－1,1)
c．(－1,3) d．(2，－3)
解析：選c 當x＝1，y＝2時，x＋y－1＝1＋2－1＝2>0，
當x＝－1，y＝3時，x＋y－1＝－1＋3－1＝1>0，
故(－1,3)與(1,2)位於直線x＋y－1＝0的同側．
5．(2012·廣東高考)已知變數x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最小值為( )
a．3 b．1
c．－5 d．－6
解析：選c 變數x，y滿足的不等式組表示的平面區域如圖所示，作輔助線l0：x＋2y＝0，並平移到過點a(－1，－2)時，z＝x＋2y達到最小，最小值為－5.
[例1] (2012·福建高考)若直線y＝2x上存在點(x，y)滿足約束條件則實數m的最大值為( )
a．－1b．1
c. d．2
[自主解答] 如圖所示：
約束條件
表示的可行域如陰影部分所示．當直線x＝m從如圖所示的實線位置運動到過a點的位置時，m取最大值．解方程組得a點座標為(1,2)，故m的最大值是1.
[答案] b
二元一次不等式表示的平面區域的畫法
在平面直角座標系中，設有直線ax＋by＋c＝0(b不為0)及點p(x0，y0)，則
(1)若b>0，ax0＋by0＋c>0，則點p在直線的上方，此時不等式ax＋by＋c>0表示直線ax＋by＋c＝0的上方的區域．
(2)若b>0，ax0＋by0＋c<0，則點p在直線的下方，此時不等式ax＋by＋c<0表示直線ax＋by＋c＝0的下方的區域．(注：若b為負，則可先將其變為正)
(3)若是二元一次不等式組，則其平面區域是所有平面區域的公共部分．
1．已知關於x，y的不等式組所表示的平面區域的面積為4，則k的值為( )
a．1 b．－3
c．1或－3 d．0
解析：選a 其中平面區域kx－y＋2≥0是含有座標原點的半平面．直線kx－y＋2＝0又過定點(0,2)，這樣就可以根據平面區域的面積為4，確定乙個封閉的區域，作出平面區域即可求解．平面區域如圖所示，根據區域面積為4，得a(2,4)，代入直線方程，得k＝1.
[例2] 變數x，y滿足
設z＝4x－3y，求z的最大值．
[自主解答] 由約束條件
作出(x，y)的可行域如圖所示．
由z＝4x－3y，得y＝x－.
求z＝4x－3y的最大值，相當於求直線y＝x－在y軸上的截距－的最小值．
平移直線y＝x知，當直線y＝x－過點b時，－最小，z最大．
由解得b(5,2)．
故zmax＝4×5－3×2＝14.
保持例題條件不變，如何解決下列問題．
(1)設z＝，求z的最小值；
(2)設z＝x2＋y2，求z的取值範圍．
解：(1)∵z＝＝.
∴z的值即是可行域中的點與原點o連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kob＝.
(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點到原點o的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，
由解得c(1,1)．
dmin＝|oc|＝，dmax＝|ob|＝.
∴2≤z≤29.
目標函式最值問題分析
(1)線性目標函式的最大(小)值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得．
(2)求線性目標函式的最優解，要注意分析線性目標函式所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數．
(3)對目標函式不是一次函式的問題，常考慮目標函式的幾何意義，如①表示點(x，y)與原點(0,0)之間的距離；表示點(x，y)與點(a，b)之間的距離．②表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．這些代數式的幾何意義能使所求代數問題轉化為幾何問題．
2．已知實數x，y滿足若z＝ax＋y的最大值為3a＋9，最小值為3a－3，則實數a的取值範圍為________．
解析：作出x，y滿足的可行域，如圖中陰影部分所示，則z在點a處取得最大值，在點c處取得最小值，又kbc＝－1，kab＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
答案：[－1,1]
[例3] (2012·江西高考)某農戶計畫種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表( )
為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那麼黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為( )
a．50,0b．30,20
c．20,30 d．0,50
[自主解答] 設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函式為z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
不等式第3講二元一次不等式 組 與簡單的線性規劃問題
1 考查二元一次不等式組表示的區域面積和目標函式最值 或取值範圍 2 考查約束條件 目標函式中的參變數的取值範圍 複習指導 1 掌握確定平面區域的方法 線定界 點定域 2 理解目標函式的幾何意義，掌握解決線性規劃問題的方法 法 注意線性規劃問題與其他知識的綜合 基礎梳理 1 二元一次不等式表示的平面...
二元一次不等式
二元一次不等式 組 與平面區域 一 課標與考綱要求 1.知識與技能 鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域 能根據 實際問題中的已知條件，找出約束條件 2.過程與方法 經歷把實際問題抽象為數學問題的過程，體會集合 化歸 數形結合 的數學思想 3.情態與價值 結合教學內容，培養學生學習數...
二元一次不等式組與簡單的線性規劃問題
一 知識歸納 1 二元一次不等式表示的平面區域 二元一次不等式在平面直角座標系中表示直線某一側所有點組成的平面區域.虛線表示區域不包括邊界直線 對於在直線同一側的所有點，實數的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點 x0，y0 從的正負即可判斷表示直線哪一側的平面區域.特殊地，當c 0時，常把...