2.4.1拋物線及其標準方程
一、教材分析
解析幾何是數學乙個重要的分支，它溝通了數學中數與形、代數與幾何等最基本物件之間的聯絡。平面解析幾何問題，就是借助建立適當的座標系，科學合理地把幾何問題代數化，運用代數的方法來研究幾何問題。
本節內容是本章所要研究的三種圓錐曲線中最後的一種曲線，在學習橢圓、雙曲線的基礎上,學生已具備建系求曲線方程的能力，所以，本章對拋物線的安排篇幅不多，但學生是可以完全可以接受的。通過求拋物線的標準方程學習，學生掌握推導出這一類軌跡方程的一般規律和化簡的常用方法。因此，「拋物線及其標準方程」起到了承上啟下的重要作用，是學生掌握解析幾何的關鍵，是領會解析法的重要途徑，是數形結合的重要知識點。
二、學情分析
（1）在此之前學生已經學習了橢圓、雙曲線，並初步掌握了求曲線方程的一般方法和步驟（建立恰當的座標系並設出點的座標；找出幾何等式；根據幾何等式列出代數式；化解代數等式），具備主動**拋物線知識的基礎；
（2）通過初中一元二次函式的學習，學生對拋物線有了一定的認識，但仍沒有上公升到成為「概念」的水平，將感性認識理性化將會是對他們的乙個挑戰；
三、教學目標
1、掌握拋物線的定義。
2、理解拋物線標準方程的推導過程，掌握標準方程的形式。
3、經歷從具體情境中抽象出拋物線模型的過程，進一步培養觀察、抽象、概括的能力。
4、通過拋物線標準方程的推導過程,進一步掌握求曲線方程的方法，滲透數形結合、等價轉化的數學思想方法。
5、在動手摺紙得出拋物線的定義的學習過程中，培養學生思維的嚴密性；親身經歷拋物線標準方程的獲得過程，養成紮實嚴謹的學習習慣。
四、教學重點：拋物線定義和拋物線標準方程的形式。
難點：拋物線概念的形成過程。
建立合適的座標系推導拋物線的標準方程。
五、教法
以多**課件為依託，課件可增強課堂教學的直觀性、趣味性，促進學生積極思維，能夠在動態演示過程中化解教學難點，突出教學重點。
六、學法
採用**式學習模式，鼓勵學生在已有的認知結構基礎上，積極主動構建新知識，遵循了建構主義原則。
七、教學過程
1、情景引入【多**】
準備一張白紙，按如下方法摺疊。
第一步、將兩張長方形的白紙四個角分別標記為
第二步、取定，將長方形的ad邊等份，各等分點記為,其中。
第三步、過點作邊的平行線，記為，並用虛線表示該直線。
第四步、將長方形紙摺疊，使得點與點重合，摺痕與的交點記為點。
第五步、用光滑曲線這交點順次連線。
（教師動手演示一遍後，讓學生分小組摺疊完成）
請問這些點所形成的圖形我們見過嗎？
由於這裡摺疊次數太小的原因，不能很好的體現圖形的特點。我們借助於幾何畫板增加摺疊次數來演示。【幾何畫板演示】
拿出另一張白紙，按照剛才的摺疊方法，得到乙個新的圖形，將兩個圖形拼在一起。
請問這些交點所形成的圖形同學們見過嗎？
引出課題—拋物線及其標準方程
讓我們回到摺紙活動中，看看得到的拋物線究竟是怎樣形成的。我們不妨來分析其中的乙個摺疊過程。此時長方形上的點與點重合，鏈結，交摺痕於點，那麼點p的軌跡是什麼？
【設計意圖：通過摺紙遊戲充分調動學生的學習興趣，激發學生的**心理。為引出新知做鋪墊】
2、概念形成【板書+多**】
如圖，也就是說，拋物線就是滿足一定條件的點p的軌跡，那麼點p滿足什麼條件呢？【多**】
如學生有困難，可按如下提示鋪設認知階梯：
1、 be點與對稱軸mn有怎樣的幾何關係?
2、 pb與pe有怎樣的大小關係？
3. 動點與定點、點直線之間有什麼關係?
你能否給拋物線下個定義？
預設：與乙個定點和一條定直線（不經過點）距離相等的點的軌跡叫做拋物線
教師引導，學生補充「平面內」。
經概括總結後得到：【多**】
我們把平面內與乙個定點和一條定直線（不經過點）距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。
定義當中需要注意哪些地方？
（回到剛才的摺紙活動中，讓學生明白，定義中需注意：直線不經過點）
【設計意圖：通過分析動點p與定點的關係，使學生經歷拋物線概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對拋物線本質的認識，培養思維的嚴謹性】
3、求方程【板書】
在學習橢圓、雙曲線時，首先學習了它們的定義，再建立適當的座標系求得橢圓、雙曲線的標準方程，進而研究他們的性質。那麼如何求拋物線的方程呢？
求橢圓、雙曲線的方程的一般步驟是什麼？
（引導學生回憶，第一步是建系設點）
如何建立平面直角座標系？才能使得拋物線的方程簡單和優化？
② 集合表示：
設是拋物線上任意一點，點到直線的距離為，由剛才的幾何圖形知，拋物線就是點的集合
③ 座標化：
因為，，所以
④ 化簡：
化簡得1）
拋物線（1）的焦點、準線分別為多少？
如果記，則拋物線（1）的方程等價於
2）我們可以發現，通過剛才的建系方法，拋物線在座標系中體現了一種對稱美，曲線方程體現了一種簡潔美。
此時，拋物線（2）的焦點、準線、開口又分別為多少？
由上述過程知，拋物線上任一點是否滿足方程（2）？
方程（2）的解到拋物線的焦點的距離與到準線的距離是否相等？
這樣我們把方程（2）稱為拋物線的標準方程。
【設計意圖：通過對橢圓、雙曲線的學習，讓學生認識到本節課研究拋物線的一般方法和思路。在標準方程的推導過程中，問題的設問讓學生認識到在推導方程的過程中進行等價變形的重要性，培養嚴謹的數學演算習慣。
提高運算能力，養成不怕困難的鑽研精神；感受數學的簡潔美、對稱美】
八、小結
1、拋物線的定義。
2、標準方程的推導及形式。
3、數形結合、等價轉化的數學思想方法。
九、作業
1 、（1）已知拋物線的焦點座標為，求它的準線方程。
2、在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的座標系我們得到不同的標準形式，則
（1）若焦點在正半軸，準線在焦點在負半軸，則拋物線的標準方程是多少？
（2）若焦點在負半軸，準線在焦點在正半軸，則拋物線的標準方程是多少？
（3）若焦點在正半軸，準線在焦點在負半軸，則拋物線的標準方程是多少？
請完成p66頁的**。
十、教學反思
十一、板書設計
教案 拋物線經典例題
拋物線習題精選精講 1 拋物線 二次曲線的和諧線 橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種 到乙個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e 1，這使它既與橢圓 雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由於這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.例1 p為拋物線上任一點...
拋物線應用
經過兩點作直線與軸交於點，在拋物線上是否存在這樣的點，使以點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點的座標 若不存在，請說明理由 設直線與y軸的交點是，段上任取一點 不與重合 經過三點的圓交直線於點，試判斷的形狀，並說明理由 當是直線上任意一點時，3 中的結論是否成立？請直接寫出結論 8 如圖，...
拋物線公式
在初中代數課上曾經學過這樣的乙個公式 ax 2 bx c y 讀作 ax的平方加上bx加上c等於y.這是乙個三元方程式,用幾何來表示就是乙個拋物線公式.可能在日常生活中很上再次接觸這樣的公式,但是在科學技術與研究中它的用途依然十分重要.在遊戲程式的設計中,經常遇到這樣乙個問題 平面遊戲要求設計乙個炮...