⑴了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用．
⑵掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質．
⑶了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質．
⑷了解圓錐曲線的簡單應用．
⑸理解數形結合的思想．
⑹了解方程的曲線與曲線的方程的對應關係．
（一）知識內容
1．平面內與乙個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程：，焦點在軸正半軸上，座標是，準線方程是，其中是焦點到準線的距離．
3．拋物線的幾何性質（根據拋物線的標準方程研究性質）：
⑴範圍：拋物線在軸的右側，開口向右，向右上方和右下方無限延伸．
⑵對稱性：以軸為對稱軸的軸對稱圖形，拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．
⑶頂點：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點．此處為原點．
⑷離心率：拋物線上的點與焦點和準線的距離的比叫做拋物線的離心率，用表示，．
4．設拋物線的焦點到準線的距離為，拋物線方程的四種形式如下：
（二）典例分析
【例1】 ⑴焦點是的拋物線的標準方程是
⑵準線方程為的拋物線的標準方程為
⑶焦點在直線上的拋物線的標準方程為 ______．
【變式1】 動圓經過定點且與直線相切，則動圓的圓心的軌跡方程是________．
【例2】 ⑴拋物線與過焦點且垂直於對稱軸的直線交於，兩點，則（ ）
ab．cd．⑵若拋物線的弦垂直於軸，且，則拋物線的焦點到直線的距離為
⑶（08全國i）已知拋物線的焦點是座標原點，則以拋物線與兩座標軸的三個交點為頂點的三角形面積為
【變式2】 ⑴已知拋物線上有兩點、，
若點的橫座標為，則點到焦點的距離為_______；
若點到焦點的距離為，則點的座標為______．
⑵已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，其上的點到焦點的距離為，
則拋物線方程為
⑶過拋物線的焦點作直線交拋物線於點，，
若，則_______，的中點到拋物線準線的距離為
【例3】 ⑴經過點的拋物線的標準方程為________．
⑵（2009四川理）
已知直線和直線，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）
abcd．
【例4】 設拋物線（）的焦點為，經過點的直線交拋物線於、兩點．點在拋物線的準線上，且∥軸．證明：直線經過原點．
【例5】 ⑴從拋物線上的乙個定點引兩條傾斜角互補的弦，，
則直線的斜率為定值．
⑵拋物線的弦的端點與頂點的連線成直角時，直線過定點；
反之，拋物線的弦過定點時，有．
【變式3】 自拋物線上一點引兩弦、，已知兩弦的斜率之和為零，求面積的最大值．
【例6】 （2008上海）
設是平面直角座標系中的點，是經過原點與點的直線，記是直線與拋物線的異於原點的交點，
⑴已知，，，求點的座標；
⑵已知點在橢圓上，，求證：點在雙曲線上；
⑶已知動點滿足，，若點始終落在一條關於軸對稱的拋物線上，試問動點的軌跡落在哪種二次曲線上，並說明理由．
【變式4】 （2023年北京豐台區一模）
已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直於橢圓的長軸，動直線垂直於直線，垂足為，線段的垂直平分線交於點．
⑴求動點的軌跡的方程；
⑵過點作直線交曲線於兩個不同的點和，設，若，求的取值範圍．
【例7】 已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．
⑴求橢圓的方程；
⑵設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點，且垂直於橢圓的長軸，動直線垂直於，垂足為點，線段的垂直平分線交於點，求點的軌跡的方程；
⑶設與軸交於點，不同的兩點、在上，且滿足，求的取值範圍．
【變式5】 已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足，．
⑴當點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；
⑵設為軌跡上兩點，且，，求實數，使，且
【例8】 （2008四川理12）
已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為（ ）
abc． d．
【變式6】 （2009北京8）
點在直線上，若存在過的直線交拋物線於，兩點，且，則稱點為「點」，那麼下列結論中正確的是（ ）
a．直線上的所有點都是「點」
b．直線上僅有有限個點是「點」
c．直線上的所有點都不是「點」
d．直線上有無窮多個點（但不是所有的點）是「點」
【例9】 若直線與拋物線交於、兩點，且中點的橫座標為，求此直線方程．
【變式7】 已知拋物線有一內接直角三角形，直角頂點在座標原點，一直角邊所在的直線方程為，斜邊長為，求拋物線的方程．
【例10】 （2008浙江理20）
已知曲線是到點和到直線距離相等的點的軌跡．是過點的直線，是上（不在上）的動點；、在上，，軸（如圖）．
⑴求曲線的方程；
⑵求出直線的方程，使得為常數．
【例11】 （2009浙江21）
已知橢圓的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．
⑴求橢圓的方程；
⑵設點在拋物線上，在點處的切線與交於點，．當線段的中點與的中點的橫座標相等時，求的最小值．
習題1. 拋物線的焦點為，點在拋物線上，若，則點的座標為
習題2. 拋物線的準線方程為，則的值為
習題3. 定點，動點、分別在圖中拋物線及橢圓的實線部分上運動，且軸，則的周長的取值範圍是
ab．cd．習題1. ⑴拋物線的弦過定點，則是（ ）
a．銳角 b．直角 c．鈍角 d．以上都可能
⑵直線與拋物線交於、兩點，設以為直線的圓為圓，則座標原點與圓的關係為_______．
習題2. ⑴（2009全國卷ii理）
已知直線與拋物線相交於、兩點，為的焦點．若，則（ ）
abcd．
⑵對於拋物線上任意一點，點都滿足，則的取值範圍是_______．
習題3. 過點且與拋物線只有乙個公共點的直線方程為_____．
習題4. （2009海淀一模13）
已知圓，點是拋物線上的動點，過點作圓的兩條切線，則兩切線夾角的最大值為 ．
拋物線的定義及標準方程例題選講
知識點梳理 統一方程 1 焦點在x軸上 標準方程焦點準線 2 焦點在x軸上 標準方程焦點準線 1.標準方程的特點 左邊是 且係數是1，右邊是 且其絕對值等於 2.對稱軸 3.開口方向 若一次項係數為正，則開口朝 4.準線 垂直於 例題選講 例1 1 如果拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,拋物線上一點...
拋物線的定義與標準方程導學案
主編審核定稿班級組別 一 學習目標 了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用 掌握拋物線的定義 幾何圖形 標準方程 2 學習重點與難點 1.準確理解拋物線的定義 2.正確推導出拋物線的標準方程 三 自主學習過程 閱讀教材64 66頁的內容回答下面的問題 1 拋物線定義 平...
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