板塊一：函式的三要素
（一）主要方法：
1．求函式解析式的題型有：
⑴已知函式型別，求函式的解析式：待定係數法；
⑵已知求或已知求：換元法、配湊法；
⑶已知函式圖象，求函式解析式；
⑷滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法；
⑸應用題求函式解析式常用方法有待定係數法等．
2．函式的定義域包含三種形式：
⑴自然型：指函式的解析式有意義的自變數的取值範圍（如：分式函式的分母不為零，偶次根式函式的被開方數為非負數，對數函式的真數為正數，等等）；
⑵限制型：指命題的條件或人為對自變數的限制，有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；
⑶實際型：解決函式的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變數的實際意義．
函式定義域的求法分兩種基本型別：
一是抽象函式的定義域，關鍵是深刻理解定義域的意義，通俗地講定義域就是」的取值範圍」；
二是具體函式的定義域的求法，轉化為解不等式組．
3．求函式值域的各種方法
⑴直接法：利用常見函式的值域來求
一次函式的定義域為，值域為；
反比例函式的定義域為，值域為；
二次函式的定義域為，
當時，值域為；當時，值域為．
⑵配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；
常轉化為型如：的形式；
⑶分式轉化法（也稱「分離常數法」）
⑷換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想；
⑸三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式，運用三角函式有界性來求值域；
⑹基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；
⑺單調性法：函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域．
⑻數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域．
⑼導函式法：利用原函式的導函式值的正負，判斷出函式的單調性，求得值域．
（二）典例分析：
【例1】 若函式滿足，則________．
【例2】 定義在正整數上的函式滿足，且，則_______．
【例3】 已知，，其值域設為，給出下列數值：，則其中屬於集合的元素是_______．（寫出所有可能的數值）
【例4】 （2004湖北理）已知，則的解析式可取為（ ）
a． b． c． d．
【例5】 求一次函式，使．
【例6】 已知，，求和的表示式．
【例7】 設函式，若，，則關於的方程的解的個數為（ ）
abcd．
【例8】 已知，定義，，，
⑴求；⑵設，求證：中至少有個元素．
【例9】 已知函式的定義域為，的定義域為，若，求實數的取值範圍是
【例10】 已知函式的定義域為，求函式的定義域．
【例11】 若函式的定義域為，求實數的取值範圍．
【例12】 求函式的值域，若，再求函式的值域．
【例13】 求函式的值域．
【例14】 求的值域．
【例15】 已知函式，
⑴當的定義域為時，值域也是，求的值．
⑵當時，函式對於任意的，恆成立，試求實數的取值範圍．
【例16】 （2006重慶）已知定義域為的函式滿足
⑴若，求；又若，求；
⑵設有且僅有乙個實數，使得，求函式的解析表示式．
板塊二：指數函式、對數函式、冪函式
（一） 知識內容
1．指數與指數函式
⑴冪的運算性質
⑵指數函式：
①定義：函式，且稱指數函式，
②指數函式的圖象與性質：
2．對數與對數函式
⑴對數的概念
①定義：如果，且，那麼數稱以為底的對數，記作，其中稱對數的底，稱真數．
1）以10為底的對數稱常用對數，記作；
2）以無理數為底的對數稱自然對數，，記作；
②基本性質：
1）真數為正數（負數和零無對數）；2）；3）；4）對數恒等式：．
③運算性質：如果，則
1）；2）；3）．
④換底公式：．
⑵對數函式：
①定義：函式，且稱對數函式，
②對數函式的圖象與性質：
③對數函式與指數函式，且互為反函式．
3．冪函式
⑴定義：一般地，函式叫做冪函式，其中是自變數，是常數．
⑵圖象：冪函式，的圖象．
⑶性質：
①它們都過點；
除原點外，任何冪函式圖象與座標軸無其他交點，任何冪函式圖象都不過第四象限．
②當時，圖象都過，且在第一象限內為增函式．
③當時，圖象都過，在第一象限內為減函式，並以座標軸為漸近線．
任何兩個冪函式圖象最多有三個公共點．
（二）典例分析：
【例17】 計算的值．
【例18】 （2008重慶）已知 ，則 ．
【例19】 （2007全國ⅱ）以下四個數中的最大者是（ ）
abcd．
【例20】 （2007天津）
設均為正數，且，，，則（ ）
a． b． c． d．
【例21】 已知，則的值等於 ．
【例22】 （2007山東）
設，則使函式的定義域為且為奇函式的所有值為_______．
【例23】 （第12屆希望盃）
已知函式的定義域為，則的取值範圍是_______．
【例24】 對於，
⑴函式的「定義域為」和「值域為」是否是一回事；
⑵結合「實數取何值時，在上有意義」與「實數取何值時，函式的定義域為」說明求「有意義」問題與求「定義域」問題的區別．
⑶結合⑴⑵兩問，說明實數的取何值時的值域為．
⑷實數取何值時，在內是增函式．
⑸是否存在實數，使得的單調遞增區間是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【例25】 （2008江蘇）
已知函式，（，，為常數）．函式定義為：對每個給定的實數，
⑴求對所有實數成立的等價條件（用表示）；
⑵設是兩個實數，滿足，且，若，求證：函式在區間上的單調增區間的長度之和為（閉區間的長度定義為）
習題1. （2005江蘇）已知為常數，若，，則_____．
習題2. （2007北京14）已知函式，分別由下表給出：
則的值為滿足的的值是
習題3. 已知函式的定義域為，值域為，則函式的定義域和值域分別是（ ）
a．， b．， c．， d．，
習題4. （2007湖南）
下面不等式成立的是（ ）
a． b．
c． d．
習題5. 已知，，求函式的值域．
習題6. 已知函式，當的定義域為時，值域也是，求的解析式．
習題1. （2008四川卷9）函式滿足，若，則（ ）
a． bc． d．
習題2. （2007浙江模擬）已知，，求函式的值域．
習題3. （2007天津）
設，，，則（ ）
a． bcd．
暑期班第2講 函式的圖象和性質 理科 學生版
板塊一 函式的性質 一 知識內容 一 函式的性質 1 單調性 定義 一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間內的任意兩個自變數，當時，都有 那麼就說在區間上是增函式 減函式 設復合函式，是定義域的某個區間，是的值域 若在上是增 或減 函式，在上也是增 或減 函式，則函式在上是增函式 若在...
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