板塊一：函式的性質
（一） 知識內容
一、函式的性質
1．單調性
⑴定義：一般地，設函式的定義域為，如果對於定義域內的某個區間內的任意兩個自變數，當時，都有（），那麼就說在區間上是增函式（減函式）；
⑵設復合函式，是定義域的某個區間，是的值域：
①若在上是增（或減）函式，在上也是增（或減）函式，則函式在上是增函式；
②若在上是增（或減）函式，而在上是減（或增）函式，則函式在上是減函式．
⑶判斷函式單調性的方法步驟
利用定義證明函式在給定的區間上的單調性的一般步驟：
①任取，且；②作差；（有時作商）③變形（通常是因式分解和配方）；
④定號（即判斷差的正負或商與的關係，有時要分區間討論）；⑤下結論．
⑷簡單性質
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同；②偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
③在公共定義域內：增函式增函式是增函式；減函式減函式是減函式；增函式減函式是增函式；減函式增函式是減函式．
2．奇偶性
⑴定義：如果對於函式定義域內的任意都有，則稱為奇函式；
如果對於函式定義域內的任意都有，則稱為偶函式．
⑵利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
①確定函式的定義域是否關於原點對稱；②確定與的關係；③作出相應結論．
⑶簡單性質：
①圖象的對稱性質：奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於軸對稱；
②設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；
（二）典例分析：
【例1】 已知，函式，求函式的單調區間．
1【變式】 若，存在，，滿足，求證：．
【例2】 ⑴判斷下列函式的奇偶性：
①；②⑵已知，，則______．
【例3】 設，且，則______．
【例4】 ⑴（2007遼寧）
函式的單調增區間為（ ）
a． b． c． d．
⑵（2007全國ⅰ）
，是定義在上的函式，，則「，均為偶函式」是「為偶函式」的（ ）
a．充要條件b．充分而不必要的條件
c．必要而不充分的條件 d．既不充分也不必要的條件
【例5】 下列命題：①若為增函式，則為減函式；②若為減函式，則為增函式；
③若為增函式，為減函式，且有意義，則為減函式；④若為增函式，為減函式，則在它們的公共區間（非空）上為增函式．
其中真命題有
【例6】 ⑴已知定義在上的函式滿足，且是偶函式，當時，
，求時的表示式．
⑵已知函式的圖象與函式的圖象關於點對稱，函式
，且在區間上為減函式，求實數的取值範圍．
【例7】 對於定義在上的函式，有下述四個命題：①若是奇函式，則的圖象關於點對稱；②若對於任意，有，則函式的圖象關於直線對稱；③若函式的圖象關於直線對稱，則為偶函式；④函式與函式的圖象關於直線對稱．
其中正確命題的序號為
【例8】 已知函式，
⑴當，且時，求證：；
⑵是否存在實數，使得函式的定義域、值域都是，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
板塊二：抽象函式
（一） 知識內容：
1．沒有給出函式的具體解析式，只給出一些特殊條件或特徵的函式稱為抽象函式．
2．抽象函式往往有它所對應的具體函式模型，常見的抽象函式模型有五類：
⑴一次函式：；
⑵二次函式：；
⑶指數函式：；
⑷對數函式：；
⑸三角函式：
；；．3．常見考查內容：
求某些點的函式值；判斷函式的奇偶性與單調性；根據函式的性質求解不等式等等．
（二）典例分析：
【例9】 ⑴（2008陝西11）
定義在上的函式滿足（），，
則等於（ ）
abcd．
⑵（2008-2009西城一模）
函式的定義域為，若對於任意，當時，都有，則稱函式在上為非減函式．
設函式在上為非減函式，且滿足以下三個條件：
則等於（ ）
abcd．
【例10】 ⑴（2009陝西12）
定義在上的偶函式滿足：對任意的，有．則當時，有（ ）
ab．cd．⑵（2023年福建）
是定義在上的以為週期的奇函式且，則方程在區間內解的個數的最小值是（ ）
a． b． c． d．
【例11】 （2009全國ⅰ）
函式的定義域為，若與都是奇函式，則（ ）
a．是偶函式b．是奇函式
cd．是奇函式
【例12】 已知函式在上有定義，當且僅當時，，且對任意都有，
⑴證明為奇函式；
⑵判斷在上的增減性，並證明你的結論．
⑶解不等式．
板塊三：函式的圖象
（一） 知識內容
1．需要掌握的函式圖象：
一次函式、二次函式、反比例函式、指數函式、對數函式、常見的冪函式、對勾函式、三角函式；
2．確定函式的草圖的基本方法：
特殊點、函式的性質（奇偶性、單調性、週期性、對稱性）、函式的有界性與走勢等；
3．函式圖象與函式方程：
兩個函式圖象交點與它們的函式方程聯立得到的方程的解之間有乙個對應關係，特殊情況是函式與軸的交點的橫座標對應的根．
利用函式圖象可求出函式方程的解的個數，並得到方程的解的一些分布規律，這是數形結合思想的乙個常見考點．
4．函式圖象的對稱性：
⑴函式的圖象的對稱性：
函式滿足函式的圖象關於直線成軸對稱；
函式滿足函式的圖象關於點成中心對稱．
⑵兩個函式的圖象對稱：
函式的圖象關於直線的對稱函式為；
函式的圖象關於點的對稱函式為．
（二）典例分析：
【例13】 （2008山東文）
已知函式的圖象如圖所示，則滿足的關係是（ ）
ab．cd．【例14】 （2008-2009上海九校高三聯考）函式的圖象為（ ）
【例15】 ⑴設定義域為的函式，則關於的方程有個不同的實數解的充要條件是（ ）
a．且 b．且
c．且 d．且
⑵設分別是方程和的根，則．
【例16】 （2009新課標遼寧卷12）
若滿足，滿足，則（ ）
abcd．
習題1. 已知函式是定義在上的偶函式，當時，是單調遞增的，則不等式的解集是
習題2. 設函式，求的單調區間，並證明在其單調區間上的單調性．
習題3. 設，若，且，則的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
習題4. （2008湖北）
已知在上是奇函式，且，當時，，則（ ）
abcd．98
習題5. 定義在上的函式同時滿足下列條件：
①對任意， 恒有；②當時且．
⑴求和；
⑵證明：函式為奇函式；
⑶證明：函式在上單調遞減．
習題 1. 函式在區間上單調遞增，則的取值範圍是_______．
習題 2. （2002上海春）
設是定義在上的奇函式，若當時，，則___ _．
習題 3. 函式的圖象大致為（ ）
第5講二次函式的圖象和性質 學生版
變式練習 若二次函式的圖象的頂點為 2,1 且過點 3,1 則此函式的解析式為 2 已知二次函式f x 若f 1 f 3 0，且函式影象過點 0，3 則f x 的解析式為 3.二次函式圖象的最高點為 1,3 則b與c的值是 4 已知二次函式f x 滿足f 2 1,f 1 1,且 f x 的最大值是8...
專題四函式的圖象和性質
本專題對函式的圖象和性質進行複習與深化，這類題目考查的知識點較多，要求學生的能力也較強，試題呈現多樣.解這類題一要有數形結合思想，二要有函式思想.要善於將題目中的條件轉化為點的座標 變數之間的關係.複習時，深刻理解函式是刻畫動態問題的最佳數學模型，從而靈活建立函式關係式，熟悉各種題型的解題策略，不斷...
6 2二次函式的圖象和性質 2
6.2二次函式的圖象和性質 2 家庭作業 1 拋物線y 4x2 4的開口向 當x 時，y有最值，y 2 當m 時，y m 1 x 3m是關於x的二次函式 3 拋物線y 3x2上兩點a x，27 b 2，y 則x y 4 當m 時，拋物線y m 1 x 9開口向下，對稱軸是 在對稱軸左側，y隨x的增大...