專題 2 三角函式與平面向量
一.瞄準高考
1.任意角的三角函式
(1)設α是乙個任意角,它的終邊與單位圓交於點p(x,y),那麼sin α=y,cos α=x,tan α=.
(2)各象限角的三角函式值的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.誘導公式:奇變偶不變,符號看象限.
3.同角三角函式基本關係式:sin2α+cos2α=1,tan α= (cos α≠0).
4. 函式y=asin(ωx+φ)(a>0,>0)的性質
①定義域;②值域;③週期性;④單調性;⑤對稱性.
5.函式y=asin(ωx+φ)的圖象
(1)「五點法」作圖; (2)圖象變換.
二.解析高考
題型一三角函式的概念、誘導公式及基本關係式的應用
例1 如圖在平面直角座標系xoy中,以ox軸為始邊作兩個銳角α、β,它們的終邊分別與單位圓交於a、b兩點,已知a、b的橫座標分別為、.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
.【變式】已知點p(sin,cos)落在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則θ的值_______.
題型二三角函式的圖象與解析式
例2 已知函式f(x)=asin(ωx+φ)+b (a>0,ω>0,0≤φ<2π)在同一週期內有最高點(,1)和最低點(,－3).
(1)求函式y=f(x)的解析式;
(2)畫出函式y=f(x)在區間[0,π]上的圖象.
【變式】如圖是函式f(x)=asin(ωx+φ)+b(ω>0,a>0,|φ|<)圖象的一部分,則f(x)的解析式為
題型三三角函式的圖象與性質
例3 已知向量m=(cosωx,sinωx),n=(cosωx, cosωx),設函式f(x)=m·n.
(1)若f(x)的最小正週期是2π,求f(x)的單調遞增區間;
(2)若f(x)的圖象的一條對稱軸是x=,(0<ω<2),求f(x)的週期和值域.
例4 已知函式f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,－<φ《的圖象如圖所示,直線x=,x=是其兩條對稱軸.
(1)求函式f(x)的解析式並寫出函式的單調增區間;
(2)若f(α)=,且<α<,求f的值.
三.感悟高考
1.五點法是作圖的基礎,五點的橫座標由ωx+φ分別取0, ,π, ,2π來確定;由y=asin(ωx+φ)的圖象的一部分求其解析式,其中a是圖象最高點和最低點縱座標之差的一半,ω由公式t=確定,φ由ωx+φ所對應的五點中的「關鍵點」的座標來確定.
2.求三角函式的定義域實質上是解不等式(組),一般根據三角函式的圖象或三角函式線直接寫出三角不等式的解,求三角函式的值域(最值),一般要結合函式的圖象,利用單調性和定義域求解.
3.求三角函式的單調區間、對稱軸、對稱中心等體現了化歸及整體代換的思想,關鍵是視ωx+φ為單角θ,將問題轉化為最基本的三角函式y=sinθ或y=cosθ來處理.
4.求三角函式的值域(最值)的常用方法:①化為求代數函式的值域;②化為求y=asin(ωx+φ)+b的值域;③化為關於sinx(或cosx)的二次函式式.
四.備戰高考
1. (2010·江蘇卷)定義在區間上的函式y=6cosx的圖象與y=5tanx的圖象的交點為p,過點p作pp1⊥x軸於點p1,直線pp1與y=sinx的圖象交於點p2,則線段p1p2的長為________.
2. (2010·四川卷)將函式y=sinx的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度,再把所得各點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變),所得圖象的函式解析式是 .
3. (2010·福建卷)將函式f(x)=sin(ωx+φ)的圖象向左平移個單位,所得圖象與原圖象重合,若,則ω的值為 .
4. 函式f(x)=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0,|φ|<)的圖象關於直線x=對稱,它的最小正週期為π.則函式f(x)圖象上離座標原點o最近的對稱中心是
5. (2010·全國卷)若cos α=－,α是第三象限的角,則sin(α+)等於 .
6. 已知函式y=asin(ωx+φ)+m的最大值為4,最小值為0,最小正週期為,直線x=是其圖象的一條對稱軸,則其解析式為
7. 已知函式f(x)=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0)的圖象與直線y=b(08. 對於函式f(x)=cosx+sin x,給出下列命題:
①存在α(0,),使f(α)=;②存在α(0,),使f(x+α)=f(x+3α)恆成立;③存在θr,使函式f(x+θ)的圖象關於y軸對稱;④函式f(x)的圖象關於點(,0)對稱.其中正確命題的序號是________.
9. 已知函式f(x)=2sinxcosx+2cos2x－1(xr).
(1)求函式f(x)的最小正週期及在區間0,上的最大值和最小值;
(2)若函式f(x+φ)為偶函式,且|φ|<,求角φ的值.
10.(2010·廣東卷) 已知函式f(x)=asin(3x+φ)(a>0,xr),0<φ<π在x=時取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正週期;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若f(α+)=,求sinα
三角函式圖象與性質
三角函式圖象與性質 湛一教育理科 1 正弦函式 余弦函式和正切函式的圖象與性質 2 函式的性質 振幅 週期 頻率 相位 初相 3 函式，當時，取得最小值為 當時，取得最大值為，則，4 作函式的圖象的兩種方法 1 用 五點法 作圖 主要是通過變數代換，設，由z取0，來求出相應的x，通過列表，計算得出五...
三角函式的圖象與性質
一 選擇題 1.函式f x sin x cos x x r 的最小正週期是 abc.2d.3 2.已知函式9 0 的最小正週期為 則該函式的圖象是 a.關於點對稱b.關於直線x 對稱 c.關於點對稱d.關於直線x 對稱 3.下列函式中，既在 0，內是增函式，又是以2 為最小正週期的偶函式的是 x4....
三角函式的圖象與性質
5 y sin x y cos x的對稱軸分別為和y tan x沒有對稱軸 自我檢測 1 2010 月考 函式y asin x a，為常數，a 0，0 在閉區間 0 上的圖象如圖所示，則 為 a 1b 2c 3d 4 2 函式y sin圖象的對稱軸方程可能是 a xb x c xd x 3 2010...