一、知識點回顧
1. 二次函式解析式的幾種形式：
①一般式：（a、b、c為常數，a≠0）
②頂點式：（a、h、k為常數，a≠0），其中（h，k）為頂點座標。
③交點式：，其中是拋物線與x軸交點的橫座標，即一元二次方程的兩個根，且a≠0，（也叫兩根式）。
2. 二次函式的圖象
①二次函式的圖象是對稱軸平行於（包括重合）y軸的拋物線，幾個不同的二次函式，如果a相同，那麼拋物線的開口方向，開口大小（即形狀）完全相同，只是位置不同。
②任意拋物線可以由拋物線經過適當的平移得到，移動規律可簡記為：[左加右減，上加下減]，具體平移方法如下表所示。
③在畫的圖象時，可以先配方成的形式，然後將的圖象上（下）左（右）平移得到所求圖象，即平移法；也可用描點法：也是將配成的形式，這樣可以確定開口方向，對稱軸及頂點座標。然後取圖象與y軸的交點（0，c），及此點關於對稱軸對稱的點（2h，c）；如果圖象與x軸有兩個交點，就直接取這兩個點（x1，0），（x2，0）就行了；如果圖象與x軸只有乙個交點或無交點，那應該在對稱軸兩側取對稱點，（這兩點不是與y軸交點及其對稱點），一般畫圖象找5個點。
3. 二次函式的性質
4. 求拋物線的頂點、對稱軸和最值的方法
①配方法：將解析式化為的形式，頂點座標為（h，k），對稱軸為直線，若a＞0，y有最小值，當x＝h時，；若a＜0，y有最大值，當x＝h時，。
②公式法：直接利用頂點座標公式（），求其頂點；對稱軸是直線，若若，y有最大值，當
5. 拋物線與x軸交點情況：
對於拋物線
①當時，拋物線與x軸有兩個交點，反之也成立。
②當時，拋物線與x軸有乙個交點，反之也成立，此交點即為頂點。
③當時，拋物線與x軸無交點，反之也成立。
二、考點歸納
考點一求二次函式的解析式
例1.已知二次函式f（x）滿足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，試求f（x）。
解答：法一：利用二次函式的一般式方程
設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由題意
故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。
法二：利用二次函式的頂點式方程
設f（x）＝a（x－m）2＋n
由f（2）＝f（－1）可知其對稱軸方程為，故m＝；
又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8；
由f（2）＝－1可解得a＝－4。
故。法三：利用二次函式的零點式方程
由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的兩根為2和－1，故可設f（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知f（x）的最大值是9，從而解得a＝－4或0（舍）。
所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。
說明：求函式解析式一般採用待定係數法，即先按照需要設出函式方程，然後再代入求待定係數。
考點二二次函式的影象變換
例2.（2023年浙江卷）已知t為常數，函式在區間[0，3]上的最大值為2，則t
解答：作出的影象，i、若所有點都在x軸上方，則ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；ii、若影象有部分在x軸下方，把x軸下方的部分對稱地翻折到x軸上方即可得到的影象，則ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，經檢驗，t＝1。綜上所述，t＝1。
考點三二次函式的影象的應用
例3.已知函式f（x）＝4x2－mx＋5在區間[－2，＋∞]上是增函式，則f（1）的範圍是（）
a. f（1）≥25b. f（1）＝25c. f（1）≤25d. f（1）>25
解答：函式f（x）＝4x2－mx＋5在區間[－2，＋∞）上是增函式，則區間[－2，＋∞）必在對稱軸的右側，從而，故f（1）＝9－m≥25。選a。
說明：解決此類問題結合函式影象顯得直觀。
考點四二次函式的性質的應用
例4.設的定義域是[n，n＋1]（n是自然數），試判斷的值域中共有多少個整數？
分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少個整數。
解答：的對稱軸為，因為n是自然數，故，所以函式在[n，n＋1]上是增函式。故
故知：值域中共有2n＋2個整數。
說明：本題利用了函式的單調性，很快求出了函式的值域，這是求函式值域的乙個重要方法。
考點五二次函式的最值
例5.試求函式在區間[1，3]上的最值。
分析：本題需就對稱軸與區間的相對位置關係進行分類討論：<1，∈[1，2]，∈（2，3]，>3。
解答：函式的對稱軸
i、當<1即時：函式在[1，3]上是增函式，故；
ii、當∈[1，2]即時：；
iii、當∈（2，3]即時：；
二次函式圖象和性質知識點總結
一 知識點回顧 1.二次函式解析式的幾種形式 一般式 a b c為常數，a 0 頂點式 a h k為常數，a 0 其中 h，k 為頂點座標。交點式 其中是拋物線與x軸交點的橫座標，即一元二次方程的兩個根，且a 0，也叫兩根式 2.二次函式的圖象 二次函式的圖象是對稱軸平行於 包括重合 y軸的拋物線，...
第5講二次函式的圖象和性質 學生版
變式練習 若二次函式的圖象的頂點為 2,1 且過點 3,1 則此函式的解析式為 2 已知二次函式f x 若f 1 f 3 0，且函式影象過點 0，3 則f x 的解析式為 3.二次函式圖象的最高點為 1,3 則b與c的值是 4 已知二次函式f x 滿足f 2 1,f 1 1,且 f x 的最大值是8...
二次函式圖象性質
1 拋物線y x 3 2的頂點座標是 對稱軸是 2 拋物線的頂點座標是 對稱軸是 3 拋物線可由拋物線向 平移 個單位得到。4 把拋物線向左平移4個單位所得拋物線的解析式是 5 拋物線不經過的象限 拋物線不經過的象限 a 第一象限 b 第二象限c 第三象限 d 第四象限 6 二次函式y x2的圖象向...