［知識要點］
1. 一般地，形如的函式叫作x的二次函式。
2. 如圖，二次函式的圖象是一條拋物線，它的開口向上，且關於y軸對稱，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，它是圖象的最低點。
3. 二次函式的圖象是一條拋物線，它的開口向下，且關於y軸對稱，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，它是圖象的最高點，它的圖象與的圖象關於x軸對稱。
4. 二次函式的圖象是一條拋物線，且關於y軸對稱，當a>0時，它的開口向上，圖象有最低點——原點；當a<0時，它的開口向下，圖象有最高點——原點。|a|越大，開口越小。
5. 二次函式的圖象與二次函式的圖象形狀相同，開口方向和對稱軸也相同，但頂點座標不同，的圖象的頂點座標是（0，b）。
6. 二次函式的圖象都是拋物線，並且形狀相同，只是位置不同，將的圖象向右平移k個單位就得到的圖象，再向上平移h個單位就得到的圖象。
7. 二次函式的圖象，當時，開口向上，對稱軸是直線，頂點座標為（k，h）；當a<0時，開口向下，對稱軸是直線x=k，頂點座標為（k，h）。
8. 二次函式的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線，頂點是。
【典型例題】
例1. 已知拋物線經過原點和第
一、二、三象限，則（ ）
a. a>0，b<0，c=0
b. a<0，b<0，c=0
c. a<0，b<0，c<0
d. a>0，b>0，c=0
答案：d
例2. 在同一直角座標系中，直線y=ax+b和拋物線的圖象只可能是圖中的（ ）
答案：c
例3. 在同一直角座標系中，函式的圖象只可能是圖中的（ ）
答案：d
例4. 拋物線的頂點在y軸上，則m的值為
答案：例5. 按要求求出下列二次函式的解析式：
（1）形狀與的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點座標是（0，－3）的拋物線的解析式；
（2）與拋物線關於x軸對稱的拋物線的解析式；
（3）對稱軸是y軸，頂點的縱座標是，且經過（1，1）點的拋物線的解析式。
解：（1）
（2）（3）例6. 已知函式
（1）寫出拋物線的開口方向，頂點座標、對稱軸及最值；
（2）求拋物線與x軸、y軸的交點；
（3）觀察圖象：x為何值時，y隨x的增大而增大；
（4）觀察圖象：當x為何值時，y>0時，當x為何值時，y=0；當x為何值時，y<0。
解：（1）原函式可化為，
∴拋物線開口向上，頂點座標為，對稱軸是直線
當時，（2）當時，，
∴拋物線與y軸交點座標為
當y=0時，
解得，∴拋物線與軸交點座標為，
（3）當時，y隨x的增大而增大
（4）當時，y>0
當時，y=0
當時，y<0
例7. 已知二次函式，根據下列給出的條件求出相應的k的值。
（1）拋物線的頂點在x軸上；
（2）拋物線的頂點在y軸上；
（3）拋物線的頂點在y=4x上。
解：利用頂點座標公式可求出函式的頂點座標為
（1）∵頂點在x軸上
∴解得∴拋物線的頂點在x軸上時，k=0或k=3
（2）∵頂點在y軸上
∴=0∴∴拋物線的頂點在y軸上時，k=0
（3）∵拋物線的頂點在y=4x上
∴∴∴拋物線的頂點在y=4x上時，
【模擬試題】（答題時間：45分鐘）
一、選擇題
1. 下列函式中，不是二次函式的是（ ）
a.b. c.
d. 2. 已知二次函式，下列說法不正確的是（ ）
a. 當a>0且x≠0時，y總取負值
b. 當a<0且x<0時，y隨x的增大而減小
c. 當a<0時，函式的圖象有最低點，即y有最小值
d. 當x<0時，的對稱軸是y軸
3. 直線與拋物線的交點座標為（ ）
a. （0，0），（1，1b. （1，1）
c. （0，1），（1，0d. （0，2），（2，0）
4. 已知，點都在函式的圖象上，則（ ）
ab.cd.
5. 函式在同一座標系中的圖象大致是圖中的（ ）
二、填空題
1. 拋物線的圖象開口對稱軸是頂點座標為當x時，y有最值為
2. 當m時，拋物線開口向下，對稱軸是在對稱軸左側，y隨x的增大而在對稱軸右側，y隨x的增大而
3. 拋物線相比的開口更小，也就是說明某函式值的增長速度較快一些。
4. 若點p（1，a）和q（－1，b）都在拋物線上，則線段pq的長是
5. 設是關於x的一元二次方程的兩個實數根，則的最大值為
三、解答題
1. 某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元**，每天可售出100件。現在他採用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每提高1元，其銷售量就要減少10件，如果他每天所賺利潤為y元，試求出y與售出價x之間的函式關係式。
2. 已知拋物線交於a、b兩點，已知a點的橫座標是3，求a、b兩點的座標及拋物線的關係式。
3. 某地解放大橋拱形鋼梁呈拋物線狀，拱頂a離橋面50m，橋面上拱形鋼梁之間距離bc=120m，建立如圖所示的直角座標系。
（1）寫出a、b、c三點的座標；
（2）求該拋物線的解析式。
4. 盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分，在大橋截面1：11000的比例圖上，跨度ab=5cm，拱高oc=0.
9cm，線段de表示大橋拱內橋長，de//ab，如圖1所示。在比例圖上，以直線ab為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數軸的單位長度，建立平面直角座標系，如圖2所示。
（1）求出圖2上，以這一部分拋物線為圖象的函式關係式，並寫出函式自變數取值範圍。
（2）如果de與ab的距離om=0.45cm，求盧浦大橋拱內實際橋長。（，計算結果精確到1公尺）。
5. 如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時，水面ab的寬為20cm，如果水位上公升3m時，水面cd的寬是10m。
（1）建立如圖所示的直角座標系，求此拋物線的解析式；
（2）現有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發需經過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280km（橋長忽略不計），貨車正以每小時40km的速度開往乙地，當行駛1小時時，忽然接到緊急通知：前方連降暴雨，造成水位以每小時0.25m的速度持續**（貨車接到通知時水位在cd處，當水位達到橋拱最高點o時，禁止車輛通行）。
試問：如果貨車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由。
若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應超過每小時多少千公尺？
【試題答案】
一、1. b2. d3. b4. c5. d
二、1. 向下，y軸，（0，－3），0，大，－3
2. －2，y軸，增大，減小
3.4. 2
5.三、 1.
2. a（3，9），b（－1，1），
3. （1）a（0，50），b（－60，0），c（60，02）
4. 解：（1）由於頂點c在y軸上，所以設以這部分拋物線為圖象的函式關係式為，因為點a（，0）（或b（，0））在拋物線上，所以，得。因此，所求函式關係式為。
（2）因為點d、e的縱座標為，所以，得，所以點d的座標為（，），點e的座標為（，），所以
，因此，盧浦大橋拱內實際橋長為：（公尺）。
5. （1）解：設拋物線的解析式為，橋拱最高點o到水面cd的距離為h公尺，則d（5，－h），b（10，－h－3）
∴拋物線的解析式為
（2）水位由cd處漲到點o的時間為：（小時），貨車按原來的速度行駛的路程為：，∴貨車按原速行駛不能安全通過此橋，設貨車速度提高到x千公尺/時，當時x=60，要使貨車安全通過此橋，貨車的速度應超過60千公尺/時。
二次函式圖象性質
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