【複習要求】
1、掌握二次函式解析式的求法
2、掌握最值求法
【教學重點】
熟悉並掌握二次函式求最值的各種題型和方法
【教學難點】
二次函式求最值
【家庭作業】
1、完成拓展內容
2、複習知識點
【知識梳理】
1、一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
頂點式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點座標是(－h，k)．
交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函式圖象與x軸交點的橫座標．
2、二次函式的影象
二次函式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函式圖象的開口大小及方向；h決定了二次函式圖象的左右平移，而且「h正左移，h負右移」；k決定了二次函式圖象的上下平移，而且「k正上移，k負下移」．
（1）當a＞0時，函式y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點座標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減小；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函式取最小值y＝．
（2）當a＜0時，函式y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點座標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減小；當x＝時，函式取最大值y＝．
（3）頂點．
在軸上方異號；在軸下方同號；在軸上，在直線上．
（4）圖象過點，圖象過點，
特別地：（為截距）；；．
3、二次函式最大值或最小值的求法．
第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
第二步配方求頂點，頂點的縱座標即為對應的最大值或最小值．
4、求二次函式在某一範圍內的最值．
如：在（其中）的最值．
第一步：先通過配方，求出函式圖象的對稱軸：；
第二步：討論：
[1]若時求最小值或時求最大值，需分三種情況討論：
①對稱軸小於即，即對稱軸在的左側；
②對稱軸，即對稱軸在的內部；
③對稱軸大於即，即對稱軸在的右側。
[2] 若時求最大值或時求最小值，需分兩種情況討論：
①對稱軸，即對稱軸在的中點的左側；
②對稱軸，即對稱軸在的中點的右側；
【典型例題】
例1、把二次函式y＝x2＋bx＋c的影象向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函式y＝x2的影象，求b，c的值．
解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的影象向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的影象，也就是函式y＝x2的影象，所以，
解得b＝－8，c＝14．
解法二：把二次函式y＝x2＋bx＋c的影象向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函式y＝x2的影象，等價於把二次函式y＝x2的影象向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函式y＝x2＋bx＋c的影象．
由於把二次函式y＝x2的影象向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函式y＝(x－4)2＋2的影象，即為y＝x2－8x＋14的影象，∴函式y＝x2－8x＋14與函式y＝x2＋bx＋c表示同乙個函式，∴b＝－8，c＝14．
說明：本例的兩種解法都是利用二次函式影象的平移規律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函式影象的變換規律．
這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優點．今後，我們在解題時，可以根據題目的具體情況，選擇恰當的方法來解決問題．
例2、已知某二次函式的最大值為2，影象的頂點在直線y＝x＋1上，並且圖象經過點（3，－1），求二次函式的解析式．
分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函式設成頂點式，再由函式圖象過定點來求解出係數a．
解：∵二次函式的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱座標，
∴頂點的縱座標為2．
又頂點在直線y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴頂點座標是（1，2）．
設該二次函式的解析式為，
∵二次函式的影象經過點（3，－1），
∴，解得a＝－2．
∴二次函式的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．
說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱座標，再利用頂點的位置求出頂點座標，然後設出二次函式的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，並巧妙地利用條件簡捷地解決問題．
例3、已知二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等於2，求此二次函式的表示式．
分析一：由於題目所給的條件中，二次函式的圖象所過的兩點實際上就是二次函式的圖象與x軸的交點座標，於是可以將函式的表示式設成交點式．
解法一：∵二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，
∴可設二次函式為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展開，得 y＝ax2＋2ax－3a，
頂點的縱座標為，
由於二次函式圖象的頂點到x軸的距離2，
∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函式的表示式為y＝，或y＝－．
分析二：由於二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱座標為2，或－2，於是，又可以將二次函式的表示式設成頂點式來解，然後再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函式的表示式．
解法二：∵二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，
∴對稱軸為直線x＝－1．
又頂點到x軸的距離為2，
∴頂點的縱座標為2，或－2．
於是可設二次函式為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由於函式圖象過點(1，0)，
∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函式為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點座標及頂點的座標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今後的解題過程中，要善於利用條件，選擇恰當的方法來解決問題．
例4、已知二次函式的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函式的表示式．
解：設該二次函式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由函式圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函式為y＝－2x2＋12x－8．
通過上面的幾道例題，同學們能否歸納出：在什麼情況下，分別利用函式的一般式、頂點式、交點式來求二次函式的表示式？
例5、求二次函式y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點座標、最大值（或最小值），並指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？並畫出該函式的圖象．
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函式圖象的開口向下；
對稱軸是直線x＝－1；
頂點座標為(－1，4)；
當x＝－1時，函式y取最大值y＝4；
當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減小；
採用描點法畫圖，選頂點a(－1，4))，與x軸交於點b和c，與y軸的交點為d(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．
例6、某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關係如下表所示：
若日銷售量y是銷售價x的一次函式，那麼，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？
分析：由於每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函式，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函式關係，然後，再由它們之間的函式關係求出每天利潤的最大值．
解：由於y是x的一次函式，於是，設y＝kx＋（b）
將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得 k＝－1，b＝200．
∴ y＝－x＋200．
設每天的利潤為z（元），則
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000
＝－(x－160)2＋1600，
∴當x＝160時，z取最大值1600．
答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．
例7、求下列函式的最大值或最小值．
（12）．
例7分析：由於函式和的自變數x的取值範圍是全體實數，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函式有最大值或最小值．
解：（1）因為二次函式中的二次項係數2＞0，所以拋物線有最低點，即函式有最小值．因為=，所以當時，函式有最小值是．
（2）因為二次函式中的二次項係數-1＜0，所以拋物線有最高點，即函式有最大值．因為=，所以當時，函式有最大值．
例8、當時，求函式的最大值和最小值．
例8解：作出函式的圖象．當時，，當時，．
說明：二次函式在自變數的給定範圍內，對應的圖象是拋物線上的一段．那麼最高點的縱座標即為函式的最大值，最低點的縱座標即為函式的最小值．
根據二次函式對稱軸的位置，函式在所給自變數的範圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況：
例9當時，求函式的取值範圍．
例9解：作出函式在內的圖象．
可以看出：當時，，無最大值．所以，當時，函式的取值範圍是．
例10當時，求函式的最小值(其中為常數)．
分析：由於所給的範圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其範圍的相對位置．
解：函式的對稱軸為．畫出其草圖．
(1) 當對稱軸在所給範圍左側．即時：當時，；
(2) 當對稱軸在所給範圍之間．即時： 當時，；
(3) 當對稱軸在所給範圍右側．即時：當時，．
綜上所述：
【變式練習】
1、函式在上有最大值5和最小值2，求的值。
解：對稱軸，故函式在區間上單調。
（1）當時，函式在區間上是增函式，故 ；
（2）當時，函式在區間上是減函式，故
2、求函式的最小值。
解：對稱軸
（1）當時，；
（2）當時，；
（3）當時，
改：1．本題若修改為求函式的最大值，過程又如何？
解：（1）當時，；
（2）當時，。
2．本題若修改為求函式的最值，討論又該怎樣進行？
二次函式及二次函式的圖象知識精講
知識要點 1.一般地，形如的函式叫作x的二次函式。2.如圖，二次函式的圖象是一條拋物線，它的開口向上，且關於y軸對稱，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，它是圖象的最低點。3.二次函式的圖象是一條拋物線，它的開口向下，且關於y軸對稱，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，它是圖象的最高點，它的圖象與的...
二次函式圖象性質
1 拋物線y x 3 2的頂點座標是 對稱軸是 2 拋物線的頂點座標是 對稱軸是 3 拋物線可由拋物線向 平移 個單位得到。4 把拋物線向左平移4個單位所得拋物線的解析式是 5 拋物線不經過的象限 拋物線不經過的象限 a 第一象限 b 第二象限c 第三象限 d 第四象限 6 二次函式y x2的圖象向...
二次函式1圖象與性質
二次函式 1 知識點結構 1 二次函式的定義 2 二次函式的圖象及性質。知識點一二次函式的定義 二次函式定義 形如y ax2 bx c a b c是常數，a 0 的函式叫做x的二次函式，a叫做二次函式的係數，b叫做一次項的係數，c叫作常數項 例題 例1 下列函式是二次函式的有 6 y 2 x 3 2...