一．課標要求：
1．掌握基本初等函式的圖象的畫法及性質。如正比例函式、反比例函式、一元一次函式、一元二次函式、指數函式、對數函式、冪函式等；
2．掌握各種圖象變換規則，如：平移變換、對稱變換、翻摺變換、伸縮變換等；
3．識圖與作圖：對於給定的函式圖象，能從圖象的左右、上下分布範圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函式的定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性。甚至是處理涉及函式圖象與性質一些綜合性問題；
4．通過例項，了解冪函式的概念；結合函式的影象，了解它們的變化情況。
二．命題走向
函式不僅是高中數學的核心內容，還是學習高等數學的基礎，所以在高考中，函式知識占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學生聯絡與轉化、分類與討論、數與形結合等重要的數學思想、能力。知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高，是高考考數學思想、數學方法、考能力、考素質的主陣地。
從歷年高考形勢來看：
（1）與函式圖象有關的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種資訊，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函式的對稱性、函式值的變化趨勢，培養運用數形結合思想來解題的能力，會利用函式圖象，進一步研究函式的性質，解決方程、不等式中的問題；
（2）函式綜合問題多以知識交匯題為主，甚至以抽象函式為原型來考察；
（3）與冪函式有關的問題主要以為主，利用它們的圖象及性質解決實際問題；
**2023年高考函式圖象：（1）題型為1到2個填空選擇題；（2）題目多從由解析式得函式圖象、數形結合解決問題等方面出題；
函式綜合問題：（1）題型為1個大題；（2）題目多以知識交匯題目為主，重在考察函式的工具作用；
冪函式：單獨出題的可能性很小，但一些具體問題甚至是一些大題的小過程要應用其性質來解決；
三．要點精講
1．函式圖象
（1）作圖方法：以解析式表示的函式作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點。
作函式圖象的步驟：①確定函式的定義域；②化簡函式的解析式；③討論函式的性質即單調性、奇偶性、週期性、最值（甚至變化趨勢）；④描點連線，畫出函式的圖象。
運用描點法作圖象應避免描點前的盲目性，也應避免盲目地連點成線要把表列在關鍵處，要把線連在恰當處這就要求對所要畫圖象的存在範圍、大致特徵、變化趨勢等作乙個大概的研究。而這個研究要借助於函式性質、方程、不等式等理論和手段，是乙個難點用圖象變換法作函式圖象要確定以哪一種函式的圖象為基礎進行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個難點。
（2）三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；
①平移變換：
ⅰ、水平平移：函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(xh)；
ⅱ、豎直平移：函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)h。
②對稱變換：
ⅰ、函式的影象可以將函式的影象關於軸對稱即可得到；
y=f(x) y=f(x)
ⅱ、函式的影象可以將函式的影象關於軸對稱即可得到；
y=f(x) y= f(x)
ⅲ、函式的影象可以將函式的影象關於原點對稱即可得到；
y=f(x) y= f(x)
ⅳ、函式的影象可以將函式的影象關於直線對稱得到。
y=f(x) x=f(y)
ⅴ、函式的影象可以將函式的影象關於直線對稱即可得到；
y=f(x) y=f(2ax)。
③翻摺變換：
ⅰ、函式的影象可以將函式的影象的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，並保留的軸上方部分即可得到；
ⅱ、函式的影象可以將函式的影象右邊沿軸翻摺到軸左邊替代原軸左邊部分並保留在軸右邊部分即可得到
④伸縮變換：
ⅰ、函式的影象可以將函式的影象中的每一點橫座標不變縱座標伸長或壓縮（）為原來的倍得到；
y=f(x) y=af(x)
ⅱ、函式的影象可以將函式的影象中的每一點縱座標不變橫座標伸長或壓縮（）為原來的倍得到。
f(x)y=f(x) y=f()
（3）識圖：分布範圍、變化趨勢、對稱性、週期性等等方面。
2．冪函式
在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：
圖 在考查學生對冪函式性的掌握和運用函式的性質解決問題時，所涉及的冪函式中限於在集合中取值。
冪函式有如下性質：
⑴它的圖象都過（1，1）點，都不過第四象限，且除原點外與座標軸都不相交；
⑵定義域為r或的冪函式都具有奇偶性，定義域為的冪函式都不具有奇偶性；
⑶冪函式都是無界函式；在第一象限中，當時為減函式，當時為增函式；
⑷任意兩個冪函式的圖象至少有乙個公共點（1，1），至多有三個公共點；
四．典例解析
題型1：作圖
例1．（06重慶理）如圖所示，單位圓中弧ab的長為x,f(x)表示弧ab與弦ab所圍成的弓形面積的２倍，則函式y=f(x)的圖象是（ ）
解析：顯然當時，陰影部分的面積等於圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的下方，故應在c、d中選擇。而當當時，陰影部分的面積等於圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的上方，故應選擇d。
點評：該題屬於實際應用的題目，結合函式值變化的趨勢和一些特殊點函式值解決問題即可。要明確函式影象與函式自變數、變數值的對應關係，特別是函式單調性與函式圖象個關係；
例2．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函式y=ax2+bx與指數函式y=（）x的圖象只可能是（ ）
解析一：由指數函式圖象可以看出0<<1。拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點座標為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選a。
解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故選a。
點評：本題主要考查二次函式、指數函式的圖象及性質，源於課本，考查基本知識，難度不大。本題雖小，但一定要細緻觀察圖象，注意細微之處，獲得解題靈感。
題型2：識圖
例3．（06江西 12）某地一年內的氣溫(單位：℃)與時間(月份)之間的關係如圖所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令表示時間段的平均氣溫，與之間的函式關係用下圖表示，則正確的應該是（ ）
解析：平均氣溫10℃與函式影象有兩個交點，觀察影象可知兩交點的兩側都低於平均氣溫， 而中間高於平均氣溫。時間段內的平均氣溫，應該從開始持續到平均氣溫左交點向右一段距離才開始達到平均氣溫，持續上公升一段時間，最後回落到平均氣溫。
答案a。
點評：聯絡生活，體會變數間的相互關係，重視觀察影象的變化趨勢，結合導數的知識處理實際問題。
例4．（2002上海文，理16）一般地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（℃）有一定的關係，如圖2—1所示，圖（1）表示某年12個月中每月的平均氣溫.圖（2）表示某家庭在這年12個月中每個月的用電量.根據這些資訊，以下關於該家庭用電量與其氣溫間關係的敘述中，正確的是（ ）
圖a．氣溫最高時，用電量最多
b．氣溫最低時，用電量最少
c．當氣溫大於某一值時，用電量隨氣溫增高而增加
d．當氣溫小於某一值時，用電量隨氣溫漸低而增加
解析：經比較可發現，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最高。因此a項錯誤。同理可判斷出b項錯誤。由5、6、7三個月的氣溫和用電量可得出c項正確。
點評：該題考查對圖表表達的函式的識別和理解能力，要從題目解說入手，結合影象和實際解決問題。
題型3：函式的圖象變換
例5．（2002全國理，10）函式y=1－的圖象是（ ）
解析一：該題考查對f（x）=圖象以及對座標平移公式的理解，將函式y=的圖形變形到y=，即向右平移乙個單位，再變形到y=－即將前面圖形沿x軸翻轉，再變形到y=－+1，從而得到答案b。
解析二：可利用特殊值法，取x=0，此時y=1，取x=2，此時y=0。因此選b。
點評：借助函式影象的變換規則解決實際問題。
例6．（05廣東理 9）在同一平面直角座標系中，函式和的圖象關於直線對稱。現將的圖象沿軸向左平移2個單位，再沿軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖2所示），則函式的表示式為（ ）
a． b．
c． d．
解析：原函式的影象仍然是由兩條折線段組成，折線段的端點（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1個單位是端點（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2個單位端點為（0，－1）、（2，0）、（3，2），關於直線對稱後折線段端點為（－1，0）、（0，2）、（2，3）。答案a。
點評：該題是應用函式圖象變換求函式解析式。由函式影象的變換的函式的性質逆向變換既可，注意函式影象的變換中平移、對稱都不會改變原來函式的形狀。
題型4：函式圖象應用
例7．函式與的影象如下圖：則函式的影象可能是（ ）
解析：∵函式的定義域是函式與的定義域的交集，影象不經過座標原點，故可以排除c、d。
由於當x為很小的正數時且，故。∴選a。
點評：明確函式影象在x軸上下方與函式值符號改變的關係，數值相乘「同號為正、異號為負」。
例8．（2000春季北京、安徽，14）已知函式f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的範圍。
解法一：觀察f(x)的圖象，可知函式f(x)的圖象過原點，即f(0)=0,得d=0，
又f(x)的圖象過(1，0)，
∴f(x)=a+b+c ①
又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0 ②
①+②得b＜0，故b的範圍是(－∞，0)
解法二：如圖f(0)=0有三根0，1，2，
∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax，
∴b=－3a，
∵當x>2時，f(x)>0，從而有a>0，
∴b＜0。
點評：通過觀察函式影象，變形函式解析式，得引數的取值範圍。
題型5：函式影象變換的應用
例9．已知，方程的實根個數為（ ）
a．2b．3c．4d．2或3或4
解析：根據函式與方程的關係，知方程的根的個數即為函式與函式的影象交點的個數。
第05講函式圖象及數字特徵
一 複習目標要求 1 掌握基本初等函式的圖象的畫法及性質。如正比例函式 反比例函式 一元一次函式 一元二次函式 指數函式 對數函式 冪函式等 2 掌握各種圖象變換規則，如 平移變換 對稱變換 翻摺變換 伸縮變換等 3 識圖與作圖 對於給定的函式圖象，能從圖象的左右 上下分布範圍，變化趨勢 對稱性等方...
第7講函式圖象
一 選擇題 1 y x cos x的大致圖象是 解析當x 0時，y 1 當x 時，y 當x 時，y 觀察各選項可知b正確 答案 b 2 由方程x x y y 1確定的函式y f x 在 上是 a 增函式b 減函式 c 先增後減d 先減後增 解析 當x 0且y 0時，x2 y2 1，當x 0且y 0時...
第02講 二次函式圖象及與函式最值
複習要求 1 掌握二次函式解析式的求法 2 掌握最值求法 教學重點 熟悉並掌握二次函式求最值的各種題型和方法 教學難點 二次函式求最值 家庭作業 1 完成拓展內容 2 複習知識點 知識梳理 1 一般式 y ax2 bx c a 0 頂點式 y a x h 2 k a 0 其中頂點座標是 h，k 交點...