§4.4 函式y＝asin(ωx＋φ)的圖象及應用
1．y＝asin(ωx＋φ)的有關概念
2.用五點法畫y＝asin(ωx＋φ)乙個週期內的簡圖時，要找五個特徵點
如下表所示.
3.函式y＝sin x的圖象經變換得到y＝asin(ωx＋φ)的圖象的步驟如下：
【思考辨析】
判斷下面結論是否正確(請在括號中打「√」或「×」)
(1)作函式y＝sin(x－)在乙個週期內的圖象時，確定的五點是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)這五個點．( × )
(2)將函式y＝3sin 2x的圖象左移個單位長度後所得圖象的解析式是y＝3sin(2x＋)．( × )
(3)函式y＝sin(x－)的圖象是由y＝sin(x＋)的圖象向右移個單位長度得到的．( √ )
(4)函式y＝sin(－2x)的遞減區間是(－－kπ，－－kπ)，k∈z.( × )
(5)函式f(x)＝sin2x的最小正週期和最小值分別為π，0.( √ )
(6)函式y＝acos(ωx＋φ)的最小正週期為t，那麼函式圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.( √ )
1．(2014·四川)為了得到函式y＝sin(2x＋1)的圖象，只需把函式y＝sin 2x的圖象上所有的點( )
a．向左平行移動個單位長度
b．向右平行移動個單位長度
c．向左平行移動1個單位長度
d．向右平行移動1個單位長度
答案 a
解析 y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到函式y＝sin 2(x＋)的圖象，即函式y＝sin(2x＋1)的圖象．
2．(2013·四川)函式f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是( )
a．2，－
b．2，－
c．4，－
d．4，
答案 a
解析 ∵t＝－，∴t＝π，∴ω＝2，
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈z，∴φ＝2kπ－，k∈z，
又φ∈，∴φ＝－，故選a.
3．設函式f(x)＝cos ωx (ω>0)，將y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度後，所得的圖象與原圖象重合，則ω的最小值等於( )
a. b．3
c．6 d．9
答案 c
解析由題意可知，nt＝ (n∈n*)，
∴n·＝ (n∈n*)，
∴ω＝6n (n∈n*)，∴當n＝1時，ω取得最小值6.
4．設函式f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的圖象關於直線x＝對稱，它的週期是π，則下列說法正確的是填序號)
①f(x)的圖象過點(0，)；
②f(x)在[，]上是減函式；
③f(x)的乙個對稱中心是(，0)；
④將f(x)的圖象向右平移|φ|個單位長度得到函式y＝3sin ωx的圖象．
答案 ①③
解析 ∵週期為π，∴＝πω＝2，
∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f(π)＝3sin(＋φ)，
則sin(＋φ)＝1或－1.
又∴＋φ＝φ＝，
∴f(x)＝3sin(2x＋)．
①：令x＝0f(x)＝，正確．
②：令2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈z
kπ＋令k＝0即f(x)在(，π)上單調遞減，而在(，)上單調遞增，錯誤．
③：令x＝f(x)＝3sin π＝0，正確．
④：應平移個單位長度，錯誤.
題型一函式y＝asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例1 設函式f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的週期為π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五點法作出它在長度為乙個週期的閉區間上的圖象；
(3)說明函式f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經過怎樣的變換而得到的．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)，
又∵t＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
∴函式f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅為2，初相為.
(2)令x＝2x＋，則y＝2sin＝2sin x.
列表，並描點畫出圖象：
(3)方法一把y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y＝sin的圖象，再把y＝sin的圖象上的點的橫座標縮短到原來的倍(縱座標不變)，得到y＝sin的圖象，最後把y＝sin上所有點的縱座標伸長到原來的2倍(橫座標不變)，即可得到y＝2sin的圖象．
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