一、內容要求
1．能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的影象，了解三角函式的週期性；
2．借助影象理解正弦函式、余弦函式在[0，2π]，正切函式在（－π/2，π/2）上的性質（如單調性、最大和最小值、影象與x軸交點等）；
3．結合具體例項，了解y=asin（wx+φ）的實際意義及影象變換方法；
二、知識精點講解
1．正弦函式、余弦函式、正切函式的影象
2．三角函式的單調區間：
的遞增區間是，
遞減區間是；
的遞增區間是，
遞減區間是，
的遞增區間是，
3．函式相關性質
最大值是，最小值是，週期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。
4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。
利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移後伸縮，但先伸縮後平移也經常出現無論哪種變形，請切記每乙個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看「變數」起多大變化，而不是「角變化」多少。
途徑一：先平移變換再週期變換(伸縮變換)
先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
途徑二：先週期變換(伸縮變換)再平移變換。
先將y＝sinx的圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
5．由y＝asin(ωx＋)的圖象求其函式式：
9．五點法作y=asin（ωx+）的簡圖：
五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。
三．典例解析
題型1：三角函式的圖象
例1．（2008全國）函式y＝－xcosx的部分圖象是（ ）
例題1解析：因為函式y＝－xcosx是奇函式，它的圖象關於原點對稱，所以排除a、c，當x∈（0，）時，y＝－xcosx＜0。答案為d。
點評：利用函式的性質來描繪函式的圖象，這樣既有利於掌握函式的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法。
題型2：三角函式圖象的變換
例2．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y=sinx的圖象。
解析：y=sin（2x+）
另法答案：
（1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象；
（2）再將y=sin2x上各點的橫座標擴大為原來的2倍（縱座標不變），得y=sinx的圖象；
（3）再將y=sinx圖象上各點的縱座標擴大為原來的3倍（橫座標不變），即可得到y=sinx的圖象。
例3．（上海春）把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（ ）
a．（1－y）sinx+2y－3=0b．（y－1）sinx+2y－3=0
c．（y+1）sinx+2y+1=0d．－(y+1)sinx+2y+1=0
解析：將原方程整理為：y=，因為要將原曲線向右、向下分別移動個單位和1個單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.
點評：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函式中的誘導公式。如果對平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得c選項。
題型3：三角函式圖象的應用
例4．已知電流i與時間t的關係式為。
（１）右圖是（ω＞0，）
在乙個週期內的圖象，根據圖中資料求
的解析式；
解析:本小題主要考查三角函式的圖象與性質等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力．
（１）由圖可知 a＝300。
設t1＝－，t2＝，
則週期t＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。
∴ ω＝＝150π。
又當t＝時，i＝0，即sin（150π·＋）＝0，
而， ∴＝。
故所求的解析式為。
點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數結合的有效途徑。
點評：本題主要考查三角函式的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。
（2）（2009全國文5，理4）在（0，2π）內，使sinx＞cosx成立的x取值範圍為（ ）
ab．（，π）
cd．（，π）∪（，）
解析：c；
解法一：作出在（0，2π）區間上正弦和余弦函式的圖象，解出兩交點的橫座標和，由圖1可得c答案。
圖1圖2
解法二：在單位圓上作出
一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應選c。（如圖2）
題型4：三角函式的定義域、值域
例6．（2009京春，18）已知函式f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，並求其值域。
解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈z，所以f（x）的定義域為，
因為f（x）的定義域關於原點對稱，
且f（－x）==f（x）。
所以f（x）是偶函式。
又當x≠（k∈z）時，
f（x）=。
所以f（x）的值域為{y|－1≤y《或點評：求三角函式的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函式線。
本題主要考查三角函式的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。
題型5：三角函式的單調性
例5．求下列函式的單調區間：
（1） y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。
分析：（1）要將原函式化為y=－sin（x－）再求之。
（2）可畫出y=－|sin（x+）|的圖象。
解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。
故由2kπ－≤－≤2kπ+。
3kπ－≤x≤3kπ+（k∈z），為單調減區間；
由2kπ+≤－≤2kπ+。
3kπ+≤x≤3kπ+（k∈z），為單調增區間。
∴遞減區間為［3kπ－，3kπ+］，
遞增區間為［3kπ+，3kπ+］（k∈z）。
（2）y=－|sin（x+）|的圖象的增區間為［kπ+，kπ+］，減區間為［kπ－，kπ+］。
題型6：三角函式的週期性
例6．求函式y=sin6x+cos6x的最小正週期，並求x為何值時，y有最大值。
題型7：三角函式的最值
例7．（2003京春文，2）設m和m分別表示函式y=cosx－1的最大值和最小值，則m+m等於（ ）
abcd．－2
例8．（ 10）函式y＝的最大值是（ ）
a．－1b．＋1c．1d．－1－
6 解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+。∴t=。
當cos4x=1，即x=（k∈z）時，ymax=1。
點評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函式的週期性。
7解析：d；因為函式g（x）=cosx的最大值、最小值分別為1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值為－和－。因此m+m=－2。
8解析：b；
總結：1．數形結合是數學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函式的研究都離不開圖象，很多函式的性質都是通過觀察圖象而得到的。
2．作函式的圖象時，首先要確定函式的定義域。
3．對於具有週期性的函式，應先求出週期，作圖象時只要作出乙個週期的圖象，就可根據週期性作出整個函式的圖象。
4．求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值範圍不能發生變化。
5．求三角函式式的最小正週期時，要盡可能地化為只含乙個三角函式，且三角函式的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤。
6．函式的單調性是在定義域或定義域的某個子區間上考慮的，要比較兩三角函式值的大小一般先將它們化歸為同一單調區間的同名函式再由該函式的單調性來比較大小。
7．判斷y=－asin（ωx+）（ω＞0）的單調區間，只需求y=asin（ωx+）的相反區間即可，一般常用數形結合而求y=asin（－ωx+）（－ω＜0＝單調區間時，則需要先將x的係數變為正的，再設法求之。
課後強化與提高練習
1、（2012上海）函式y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是（ ）
2、函式y=2sinx的單調增區間是（ ）
a．［2kπ－，2kπ＋］（k∈z） b．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈z）
c．［2kπ－π，2kπ］（k∈z） d．［2kπ，2kπ＋π］（k∈z）
3、判斷下面函式的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。
4、關於x的函式f（x）=sin（x+）有以下命題：
①對任意的，f（x）都是非奇非偶函式；
②不存在，使f（x）既是奇函式，又是偶函式；
③存在，使f（x）是奇函式；
④對任意的，f（x）都不是偶函式。
其中乙個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結論不成立。
5、．設的週期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）。
6 已知函式f（x）=asin（ωx+）（a>0，ω>0，x∈r）在乙個週期內的圖象如圖所示，求直線y=與函式f（x）圖象的所有交點的座標。
課後強化與提高練習答案
1、解析：由奇偶性定義可知函式y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函式。選項a、d為奇函式，b為偶函式，c為非奇非偶函式。
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