一、知識點回顧
1. 二次函式解析式的幾種形式：
①一般式：（a、b、c為常數，a≠0）
②頂點式：（a、h、k為常數，a≠0），其中（h，k）為頂點座標。
③交點式：，其中是拋物線與x軸交點的橫座標，即一元二次方程的兩個根，且a≠0，（也叫兩根式）。
2. 二次函式的圖象
①二次函式的圖象是對稱軸平行於（包括重合）y軸的拋物線，幾個不同的二次函式，如果a相同，那麼拋物線的開口方向，開口大小（即形狀）完全相同，只是位置不同。
②任意拋物線可以由拋物線經過適當的平移得到，移動規律可簡記為：[左加右減，上加下減]，具體平移方法如下表所示。
③在畫的圖象時，可以先配方成的形式，然後將的圖象上（下）左（右）平移得到所求圖象，即平移法；也可用描點法：也是將配成的形式，這樣可以確定開口方向，對稱軸及頂點座標。然後取圖象與y軸的交點（0，c），及此點關於對稱軸對稱的點（2h，c）；如果圖象與x軸有兩個交點，就直接取這兩個點（x1，0），（x2，0）就行了；如果圖象與x軸只有乙個交點或無交點，那應該在對稱軸兩側取對稱點，（這兩點不是與y軸交點及其對稱點），一般畫圖象找5個點。
3. 二次函式的性質
4. 求拋物線的頂點、對稱軸和最值的方法
①配方法：將解析式化為的形式，頂點座標為（h，k），對稱軸為直線，若a＞0，y有最小值，當x＝h時，；若a＜0，y有最大值，當x＝h時，。
②公式法：直接利用頂點座標公式（），求其頂點；對稱軸是直線，若若，y有最大值，當
5. 拋物線與x軸交點情況：
對於拋物線
①當時，拋物線與x軸有兩個交點，反之也成立。
②當時，拋物線與x軸有乙個交點，反之也成立，此交點即為頂點。
③當時，拋物線與x軸無交點，反之也成立。
二、考點歸納
考點一求二次函式的解析式
例1.已知二次函式f（x）滿足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，試求f（x）。
解答：法一：利用二次函式的一般式方程
設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由題意
故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。
法二：利用二次函式的頂點式方程
設f（x）＝a（x－m）2＋n
由f（2）＝f（－1）可知其對稱軸方程為，故m＝；
又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8；
由f（2）＝－1可解得a＝－4。
故。法三：利用二次函式的零點式方程
由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的兩根為2和－1，故可設f（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知f（x）的最大值是9，從而解得a＝－4或0（舍）。
所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。
說明：求函式解析式一般採用待定係數法，即先按照需要設出函式方程，然後再代入求待定係數。
考點二二次函式的影象變換
例2.（2023年浙江卷）已知t為常數，函式在區間[0，3]上的最大值為2，則t＝。
解答：作出的影象，i、若所有點都在x軸上方，則ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；ii、若影象有部分在x軸下方，把x軸下方的部分對稱地翻折到x軸上方即可得到的影象，則ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，經檢驗，t＝1。綜上所述，t＝1。
考點三二次函式的影象的應用
例3.已知函式f（x）＝4x2－mx＋5在區間[－2，＋∞]上是增函式，則f（1）的範圍是（）
a. f（1）≥25b. f（1）＝25c. f（1）≤25d. f（1）>25
解答：函式f（x）＝4x2－mx＋5在區間[－2，＋∞）上是增函式，則區間[－2，＋∞）必在對稱軸的右側，從而，故f（1）＝9－m≥25。選a。
說明：解決此類問題結合函式影象顯得直觀。
考點四二次函式的性質的應用
例4.設的定義域是[n，n＋1]（n是自然數），試判斷的值域中共有多少個整數？
分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少個整數。
解答：的對稱軸為，因為n是自然數，故，所以函式在[n，n＋1]上是增函式。故
故知：值域中共有2n＋2個整數。
說明：本題利用了函式的單調性，很快求出了函式的值域，這是求函式值域的乙個重要方法。
考點五二次函式的最值
例5.試求函式在區間[1，3]上的最值。
分析：本題需就對稱軸與區間的相對位置關係進行分類討論：<1，∈[1，2]，∈（2，3]，>3。
解答：函式的對稱軸
i、當<1即時：函式在[1，3]上是增函式，故；
ii、當∈[1，2]即時：；
iii、當∈（2，3]即時：；
iv、當》3即時：函式在[1，3]上為減函式，故
綜上所述：當時，；當時，；當時，；當時，。
考點六方程的根或函式零點的分布問題
例6.已知二次方程的乙個根比1大，另乙個根比1小，試求的取值範圍。
解答：設，則；
例7.當為何實數時，關於的方程
（i）有兩個正實根；
（ii）有乙個正實根，乙個負實根。
解答：（i）設，由方程有兩個正實根，結合影象可知：
（ii）設，結合影象可知：
說明：一元二次方程的根或二次函式零點的分布問題的處理主要思路是結合函式影象，考慮三個內容：根或零點所在區間端點的函式的正負、判別式及對稱軸的位置。
考點七三個「二次」的關係
例8.已知關於的一元二次不等式的解集為，試解關於的一元二次不等式。
解答：法一：由題意可知，，一元二次不等式對應的一元二次方程的兩個根是1和2，故；又
即關於的一元二次不等式的解集為。
法二：，即關於的一元二次不等式的解集為。
考點八二次函式的應用
例9.（2003北京春招）某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需維護費150元。未租出的車每輛每月需維護費50元。
（i）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？
（ii）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解答：（i）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為，故租出了88輛；
（ii）設每輛車月租金定為元，則租賃公司的月收益為
故當月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大為307050元。
三、綜合練習
1、小李從如圖所示的二次函式的圖象中，觀察得出了下面四條資訊：（1）b2－4ac＞0；（2）c＞1；（3）ab＞0；（4）a－b＋c＜0. 你認為其中錯誤的有( )
a. 2個 b. 3個c. 4個d. 1個第1題
2.已知二次函式經過點m（-1,2）和點n（1，-2），交x軸於a，b兩點，交y軸於c則……()
②該二次函式影象與y軸交與負半軸
③ 存在這樣乙個a，使得m、a、c三點在同一條直線上
④若以上說法正確的有：
abc．①②④ d．①②③
3、在平面直角座標系中，如果拋物線y＝2x2不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，那麼在新座標系下拋物線的解析式是
a．y＝2(x + 2)2－2 b．y＝2(x－2)2 + 2
c．y＝2(x－2)2－2d．y＝2(x + 2)2 + 2
4.如圖，點a，b的座標分別為（1,4）和（4, 4）,拋物線的頂點**段ab上運動，與x軸交於c、d兩點（c在d的左側），點c的橫座標最小值為，則點d的橫座標最大值為( )
a．－3b．1c．5d．8
5. 拋物線影象如圖所示，則一次函式與反比例函式在同一座標系內的影象大致為
6. 把拋物線向上平移2個單位，那麼所得拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是.
7.如圖，菱形abcd的三個頂點在二次函式y=ax2－2ax+（a＜0）的
圖象上，點a、b分別是該拋物線的頂點和拋物線與y軸的交點，
則點d的座標為．
8. 老師給出乙個y關於x的函式，甲、乙、丙、丁四位同學各指出這個函式的乙個性質：甲：
函式圖象不經過第三象限；乙：函式圖象經過第一象限；丙：當x<2時，y隨x的增大而減小；丁：
當x<2時y>0.已知這四位同學敘述都正確。請寫出滿足上述所有性質的乙個函式
9.已知關於x的函式y＝（m－1）x2＋2x＋m影象與座標軸有且只有2個交點，則m＝
10. 如圖，已知⊙p的半徑為2，圓心p在拋物線上運動，當⊙p與軸相切時，圓心p的座標為.
11. ．如圖，在第一象限內作射線oc,與x軸的夾角為30o,在射線oc上取一點a，過點a作ah⊥x軸於點h.在拋物線y=x2 (x>0)上取點p，在y軸上取點q，使得以p，o，q為頂點的三角形與△aoh全等，則符合條件的點a的座標是
12. 我們知道，根據二次函式的平移規律，可以由簡單的函式通過平移後得到較複雜的函式，事實上，對於其他函式也是如此。如一次函式，反比例函式等。請問可以由通過平移得到。
第5講二次函式圖象和性質知識點總結
一 知識點回顧 1.二次函式解析式的幾種形式 一般式 a b c為常數，a 0 頂點式 a h k為常數，a 0 其中 h，k 為頂點座標。交點式 其中是拋物線與x軸交點的橫座標，即一元二次方程的兩個根，且a 0，也叫兩根式 2.二次函式的圖象 二次函式的圖象是對稱軸平行於 包括重合 y軸的拋物線，...
二次函式圖象性質
1 拋物線y x 3 2的頂點座標是 對稱軸是 2 拋物線的頂點座標是 對稱軸是 3 拋物線可由拋物線向 平移 個單位得到。4 把拋物線向左平移4個單位所得拋物線的解析式是 5 拋物線不經過的象限 拋物線不經過的象限 a 第一象限 b 第二象限c 第三象限 d 第四象限 6 二次函式y x2的圖象向...
二次函式的圖象和性質
1 小李從如圖所示的二次函式的圖象中，觀察得出了下面四條資訊 1 b2 4ac 0 2 c 1 3 ab 0 4 a b c 0.你認為其中錯誤的有 a.2個 b.3個 c.4個 d.1個 2 在平面直角座標系中，如果拋物線y 2x2不動，而把x軸 y軸分別向上 向右平移2個單位，那麼在新座標系下拋...