二次函式知識點總結

一、二次函式的概念及圖象特徵

二次函式：如果，那麼y叫做x的二次函式．

與y軸的交點為（0，c），通過配方可寫成，它的圖象是以直線為對稱軸，以為頂點的一條拋物線。

二、二次函式影象的性質

當a< 0時⑴開口向下，並且向下無限伸展；對稱軸為，頂點座標為

⑵當x＝時，函式有最大值；

當x＜時，y隨x的增大而增大；

當x＞時，y隨x的增大而減小

二次函式的圖象與各項係數之間的關係

1. 二次項係數

二次函式中，作為二次項係數，顯然．

⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；

⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．

總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，

的大小決定開口的大小．

2. 一次項係數

在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．

⑴ 在的前提下，

當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；

當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；

當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．

⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即

當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；

當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；

當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．

3. 常數項

⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；

⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；

⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．

總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．

畫二次函式的影象主要確定其開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點。

三、二次函式圖象的平移規律

拋物線可由拋物線平移得到. 由於平移時，拋物線上所有的點的移動規律都相同，所以只需研究其頂點移動的情況. 因此有關拋物線的平移問題，需要利用二次函式的頂點式來討論．

平移步驟：

（1）將拋物線的解析式轉化成頂點式：，確定其頂點座標是，

（2）保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，

一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.

圖象與軸的交點個數：

當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.當時二次函式的頂點在x軸的下方，函式的最小值小於0，當時，二次函式的頂點在x軸的上方，函式最大值大於0.

② 當時，圖象與軸只有乙個交點；此時頂點在x軸上，頂點座標為函式的最值為0.

③ 當時，圖象與軸沒有交點.

當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有，此時函式頂點在軸的上方；

當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有此時函式頂點在軸的下方；

因此，在求解一元二次方程的解得時候，有時可能會與二次函式聯絡。

五、二次函式解析式的表示方法

1. 一般式：（，，為常數，）；

2. 頂點式：（，，為常數，）；

3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.

注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.

二次函式解析式的確定：

根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；

2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；

4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．

六、二次函式常用解題方法總結：

⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；

⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；

⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；

⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.

七、二次函式的應用：

（1）根據實際問題，建立二次函式的模型。

（2）根據已知模型，利用待定係數法，列出二次函式方程。

(3) 通過建立直角座標系，求出待定係數，解決問題。

二次函式典型例題解析

關於二次函式的概念

例1 如果函式是二次函式，那麼m的值為

例2 拋物線的開口方向是對稱軸是；頂點為。

關於二次函式的性質及圖象

例3 已知y=ax2+bx+c的圖象如下，

則：a____0 ， b___0， c___0 ，

a+b+c____0， a-b+c__0，2a+b____0，

b2-4ac___0　，4a+2b+c 0

例4、若為二次函式的圖象上的三點，則，，的大小關係是

a． b．

c． d．

例5、在同一平面直角座標系中，一次函式和二次函式的圖象可能為（　　）

確定二次函式的解析式

例6 已知：函式的圖象如圖：那麼函式解析式為（）

（a）（b）

（c）（d）

例7 如圖：△abc是邊長為4的等邊三角形，ab在x軸上，

點c在第一象限，ac與y軸交於點d，點a的座標為（-1，0）

求 b、c、d三點的座標；

拋物線經過b、c、d三點，求它的解析式；

[, , ]把二次函式的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得到的圖象對應的二次函式關係式是則原二次函式的解析式為

例9、二次函式關於y軸的對稱圖象的解析式為關於x軸的對稱圖象的解析式為

關於頂點旋轉１８０度的圖象的解析式為

二次函式交點問題

例10、已知二次函式的圖象與x軸有兩個交點，則a的取值範圍是

例11. 拋物線與x軸交點為a，b，（a在b左側）頂點為c.與y軸交於點d

(1)求△abc的面積。

(2)若在拋物線上有一點m，使△abm的面積是△abc的面積的２倍。求m點座標

（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點q，使得△qac的周長最小？若存在，求出q點的座標；若不存在，請說明理由.

(4)在拋物線上是否存在一點p，使四邊形pbac是等腰梯形，若存在，求出p點的座標；若不存在，請說明理由

二次函式的綜合應用

例12.拋物線經過、兩點，與軸交於另一點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點在第一象限的拋物線上，求點關於直線對稱的點的座標；

例13.如圖所示，已知拋物線與軸交於a、b兩點，與軸交於點c．

（1)求a、b、c三點的座標．

(2) 過a作ap∥cb交拋物線於點p，求四邊形acbp的面積．

例14.在軸上方的拋物線上是否存在一點m，過m作mg軸點g，使以a、m、g三點為頂點的三角形與pca相似．若存在，請求出m點的座標；否則，請說明理由．

例15.某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高於55元，市場調查發現，若每箱以50元的**調查，平均每天銷售90箱，**每提高1元，平均每天少銷售3箱．

（1）求平均每天銷售量（箱）與銷售價（元/箱）之間的函式關係式．（3分）

（2）求該批發商平均每天的銷售利潤（元）與銷售價（元/箱）之間的函式關係式．（3分）

（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？（4分）

例16、隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計畫投資種植花卉及樹木，根據市場調查與**，種植樹木的利潤與投資量成正比例關係，如圖12-①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函式關係，如圖12-②所示（注：利潤與投資量的

單位：萬元）

（1）分別求出利潤與關於投資量的函式關係式；

（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

例17、.為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠牆（牆長25m）的空地上修建乙個矩形綠化帶abcd，綠化帶一邊靠牆，另三邊用總長為40m的柵欄圍住若設綠化帶的bc邊長為xm，綠化帶的面積為ym.

求y與x之間的函式關係式，並寫出自變數x的取值範圍；

當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？

例18.如圖，在平面直角座標系中，矩形oabc的兩邊分別在x軸和y軸上，，現有兩動點p、q分別從o、c同時出發，p**段oa上沿oa方向以每秒cm的速度勻速運動，q**段co上沿co方向以每秒1cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒．

（1）用t的式子表示△opq的面積s；

(2)求證：四邊形opbq的面積是乙個定值，並求出這個定值；

（3）當矩形efpq的面積最大時，該矩形efpq以每秒1個單位的速度沿射線qc勻速運動(當點q與點c重合時停止運動)，設運動時間為t秒，矩形effq與△abc重疊部分的面積為s，求s與t的函式關係式．

中考壓軸題

例19、如圖，已知拋物線過點c，與軸交於a，b兩點，與y軸交於d點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)設拋物線的頂點為m，求四邊形abmd的面積；

(3)設點p（），q（）是拋物線上兩個不同的點，且關於此拋物線的對稱軸對稱，請直接寫出的值．

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