1.定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
2.二次函式的性質
（1）拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.
（2）函式的影象與的符號關係.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.
（3）頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.
3.二次函式的影象是對稱軸平行於（包括重合）軸的拋物線.
4.二次函式用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
9.拋物線中，的作用
（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線
，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點（0，）：
①，拋物線經過原點; ②,與軸交於正半軸；③,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
10.幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
11.用待定係數法求二次函式的解析式
（1）一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
12.直線與拋物線的交點
（1）軸與拋物線得交點為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
基礎題訓練
【對稱軸】1、拋物線的對稱軸是直線（ ）
a． b． c． d．
【頂點】1、 拋物線的頂點座標是（ ）
a．（2，3） b．（－2，3） c．（2，－3） d．（－2，－3）
【頂點】2、拋物線（是常數）的頂點座標是（ ）
a． b． c． d．
【頂點】3、二次函式的圖象的頂點座標是（ ）
a． b． c． d．
【頂點】4、拋物線的頂點座標為
（a）（-2，7） （b）（-2，-25） （c）（2，7） （d）（2，-9）
【平移】1、在平面直角座標系中，將二次函式的圖象向上平移2個單位，所得圖象的解析式為
a． b．
c． d．
【平移】2、將拋物線向下平移1個單位，得到的拋物線是（ ）
a． b． c． d．
【平移】3、將函式的圖象向右平移a個單位，得到函式的圖象，則a的值為
a．1 b．2 c．3 d．4
【平移】4、把拋物線向左平移1個單位，然後向上平移3個單位，則平移後拋物線的解析式為
a． b．
c． d．
【平移】5、把二次函式的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得到的圖象對應的二次函式關係式是（ ）
（a） （b） （c） （d）
【最值】1、向上發射一枚炮彈，經x秒後的高度為y公尺，且時間與高度關係為y=ax2bx。若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則再下列哪乙個時間的高度是最高的？
(a) 第8秒 (b) 第10秒 (c) 第12秒 (d) 第15秒 。
【最值】2、二次函式的最小值是（ ）
a．2 b．1 c．－3 d．
【最值】3、已知二次函式 ， 為常數，當y達到最小值時，x的值為
（a） （b） （c） （d）
【對稱軸、最值】如圖，直角座標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，下列關係不正確的是（ ）
a． b． c． d．
【符號】1、已知二次函式（）的圖象如圖4所示，有下列四個結論：④，其中正確的個數有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
【符號】2、二次函式的圖象如圖所示，則下列關係式中錯誤的是（ ）
a．a＜0
b．c＞0
c．＞0
d．＞0
【符號】3、已知=次函式y＝ax+bx+c的圖象如圖．則下列5個代數式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a－b中，其值大於0的個數為（ ）
a．1b 2c、3d、4
【符號】4、不論x為何值,函式y=ax2+bx+c(a≠0)的值恆大於0的條件是( )
a.a>0,△>0 b.a>0, △<0 c.a<0, △<0 d.a<0, △<0
【符號】5、二次函式的圖象如圖所示，則一次函式與反比例函式在同一座標系內的圖象大致為（ ）
【影象】1、(3)已知拋物線y=ax2+bx,當a>0,b<0時,它的圖象經過
a.一、
二、三象限b.
一、二、四象限
c．一、
三、四象限d.
一、二、
三、四象限
【影象】2、(2023年陝西省)根據下表中的二次函式的自變數x與函式y的對應值，可判斷二次函式的影象與x軸
a．只有乙個交點b．有兩個交點，且它們分別在y軸兩側
c．有兩個交點，且它們均在y軸同側 d．無交點
【影象】3、函式y=ax＋1與y=ax2＋bx＋1（a≠0）的圖象可能是（ ）
【影象】4、拋物線的圖象如圖所示，根據圖象可知，拋物線的解析式可能是（ ）
a、y=x2-x-2b、y=
c、y= d、y=
【影象】5、二次函式的圖象如圖2所示，若點a（1，y1）、b（2，y2）是它圖象上的兩點，則y1與y2的大小關係是
a． b． c． d．不能確定
【影象】6、（2009麗水市）已知二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結論：
①a＞0.
②該函式的圖象關於直線對稱.
③當時，函式y的值都等於0.
其中正確結論的個數是（ ）
a．3 b．2 c．1 d．0
【應用】1、（1）是乙個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m。（2）建立平面直角座標系，則拋物線的關係式是（ ）
a． b． c． d．
【應用】2、如圖，在平面直角座標系中放置一直角三角板，其頂點為，，，將此三角板繞原點順時針旋轉，得到．如圖，一拋物線經過點，求該拋物線解析式；
【應用】3、如圖有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位是ab寬20m，水位上公升3m就達到警戒線cd，這是水面寬度為10m。（1）在如圖的座標系中求拋物線的解析式。
(2)若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上公升，從警戒線開始，再持續多少小時才能到拱橋頂？
【應用】4、如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經過矩形abcd的兩個頂點a、b，ab平行於x軸，對角線bd與拋物線交於點p，點a的座標為(0，2)，ab＝4．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若s△apo＝，求矩形abcd的面積
【應用】5、某商品的進價為每件40元．當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現需降價處理，且經市場調查：每降價1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：
（1）若設每件降價元、每星期售出商品的利潤為元，請寫出與的函式關係式
（2）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）請畫出上述函式的大致圖象．
二次函式練習
一． 填空題：每題3分，共36分
1．形如(其中____ ，、是______ )的函式，叫做二次函式；
2．已知拋物線，則的範圍是
3．已知二次函式(≠0的常數)，則與成_______比例．
4．若是二次函式，則；
5．當時，函式是二次函式；
6．若拋物線開口向下，則；
7．已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點,那麼一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是
8．函式的圖象若是一條不經過
一、二象限的拋物線。則的符號是_______
9．如果拋物線和直線都經過點p(2，6)，則直線不經過第_______象限，拋物線不經過第_______象限．
10．拋物線的頂點在軸上，其頂點座標是對稱軸是 ；
11．把二次函式配方成頂點式為
12函式的圖象與軸有交點，則的取值範圍是
二．選擇題：每題4分，共16分
13．下列各式中，是的二次函式的是( )
二次函式知識點總結
一 二次函式的概念及圖象特徵 二次函式 如果，那麼y叫做x的二次函式 與y軸的交點為 0，c 通過配方可寫成，它的圖象是以直線為對稱軸，以為頂點的一條拋物線。二 二次函式影象的性質 當a 0時 開口向下，並且向下無限伸展 對稱軸為，頂點座標為 當x 時，函式有最大值 當x 時，y隨x的增大而增大 當...
二次函式知識點總結
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式.需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項 二 二次...
二次函式知識點總結
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項 二 ...