.一、函式的三要素：定義域、對應法則、值域
相同函式的判斷方法：①表示式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
二、函式定義域求法：
● 分式中的分母不為零；
● 偶次方根下的數（或式）大於或等於零；
● 指數式的底數大於零且不等於一；
● 對數式的底數大於零且不等於一，真數大於零。
● 正切函式
● 餘切函式
當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每乙個條件的自變數的範圍，再取他們的交集，就得到函式的定義域。
三、求復合函式的定義域
義域是復合函式定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的範圍，即為的定義域。
四、函式值域的求法
1．直接觀察法
對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。
例求函式y=的值域
2．配方法
配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。
例、求函式y=-2x+5，x [-1，2]的值域。
3．判別式法
對二次函式或者分式函式（分子或分母中有乙個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面
下面，我把這一型別的詳細寫出來，希望大家能夠看懂
4.函式單調性法
5.換元法
通過簡單的換元把乙個函式變為簡單函式，其題型特徵是函式解析式含有根式或三角
函式公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函式的值域中同樣發
揮作用。
例求函式y=x+的值域。
6.數形結合法
例求函式y=+的值域。
解：原函式可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成數軸上點p（x）到定點a（2），b（-8）間的距離之和。
由上圖可知：當點p**段ab上時，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣ab∣=10_
當點p**段ab的延長線或反向延長線上時，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣ab∣=10_
故所求函式的值域為：[10，+∞）
總之，在具體求某個函式的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函式單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。
五、求乙個函式的解析式或乙個函式的反函式時，註明函式的定義域了嗎？
切記：做題，特別是做大題時， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得寫上
六、判斷函式單調性的方法有三種：
(1)定義法：（三步：取值、作差、判正負）
根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關係
可以變形為求的正負號或者與1的關係
(2)參照圖象：
①若函式f(x)的圖象關於點(a，b)對稱，函式f(x)在關於點(a，0)的對稱區間具有相同的單調性； （特例：奇函式）
②若函式f(x)的圖象關於直線x＝a對稱，則函式f(x)在關於點(a，0)的對稱區間裡具有相反的單調性。（特例：偶函式）
(3)利用單調函式的性質：
①函式f(x)與f(x)＋c(c是常數)是同向變化的
②函式f(x)與cf(x)(c是常數)，當c＞0時，它們是同向變化的；當c＜0時，它們是反向變化的。
③如果函式f1(x)，f2(x)同向變化，則函式f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函式相加）
④如果正值函式f1(x)，f2(x)同向變化，則函式f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函式f1(2)與f2(x)同向變化，則函式f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函式相乘）
⑤函式f(x)與在f(x)的同號區間裡反向變化。
⑥若函式u＝φ(x)，x[α，β]與函式y＝f(u)，u或u同向變化，則在[α，β]上覆合函式y＝f[φ(x)]是遞增的；若函式u＝φ(x),x[α，β]與函式y＝f(u)，u或u反向變化，則在[α，β]上覆合函式y＝f[φ(x)]是遞減的。（同增異減）
⑦若函式y＝f(x)是嚴格單調的，則其反函式x＝f－1(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。
∴……）
（4）利用導數判斷函式的單調性
值是（ ）
a. 0b. 1c. 2d. 3
∴a的最大值為3）
七、函式f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件：f(x)定義域關於原點對稱
注意如下結論：
（1）在公共定義域內：兩個奇函式的乘積是偶函式；兩個偶函式的乘積是偶函式；乙個偶函式與奇函式的乘積是奇函式。
判斷函式奇偶性的方法：
1.定義域法
乙個函式是奇（偶）函式，其定義域必關於原點對稱，它是函式為奇（偶）函式的必要條件.若函式的定義域不關於原點對稱，則函式為非奇非偶函式.
2.奇偶函式定義法
在給定函式的定義域關於原點對稱的前提下，計算，然後根據函式的奇偶性的定義判斷其奇偶性.
3.復合函式奇偶性
八、 週期函式
函式，t是乙個週期。）
我們在做題的時候，經常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函式週期2t. 推導：，
同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣乙個意思：
函式f(x)關於直線對稱， 對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函式關於直線x=a對稱。
九、圖象變換
聯想點（x,y）,(-x,y)
聯想點（x,y）,(x,-y)
聯想點（x,y）,(-x,-y)
聯想點（x,y）,(y,x)
聯想點（x,y）,(2a-x,y)
聯想點（x,y）,(2a-x,0)
判斷函式y-b=f(x+a)怎麼由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的座標。 看點和原點的關係，就可以很直觀的看出函式平移的軌跡了。）
注意如下「翻摺」變換：
十、常用函式的圖象和性質
(k為斜率，b為直線與y軸的交點)
的雙曲線。
應用：①「三個二次」（二次函式、二次方程、二次不等式）的關係——二次方程
②求閉區間［m，n］上的最值。
③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。
由圖象記性質注意底數的限定！）
十一、抽象函式
（賦值法、結構變換法）
（對於這種抽象函式的題目，其實簡單得都可以直接用死記了
1、 代y=x，
2、 令x=0或1來求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求單調性：令x+y=x1
例1已知函式f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在區間[－2,1]上的值域.
分析：先證明函式f（x）在r上是增函式（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據區間求其值域.
例2已知函式f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.
分析：先證明函式f（x）在r上是增函式（仿例1）；再求出f（1）＝3；最後脫去函式符號.
例3已知函式f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].
（1） 判斷f（x）的奇偶性；
（2） 判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調性，並給出證明；
（3） 若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值範圍.
分析：（1）令y＝－1；
（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；
（3）0≤a≤2.
例4設函式f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1） f（0）；
（2） 對任意值x，判斷f（x）值的符號.
分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0
例6設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函式，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值範圍.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函式的單調性和已知關係式.
對於抽象函式的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函式問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函式.因此，針對不同的函式要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函式問題.
例9已知函式f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1） 求證：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求證：f（x）為偶函式；
（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函式，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
分析：函式模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）
（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；
（2） 令y＝ －1；
（3） 由f（x）為偶函式，則f（x）＝f（|x|）.
例10已知函式f（x）對一切實數x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，求證：
（1） 當x＞0時，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈r上是減函式.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3） 受指數函式單調性的啟發：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，
進而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.
練習題：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數x、y都成立，則（ ）
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