一次函式
一、定義與定義式:
自變數x和因變數y有如下關係:
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函式。
特別地,當b=0時,y是x的正比例函式。
即:y=kx (k為常數,k≠0)
二、一次函式的性質:
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k
即:y=kx+b (k為任意不為零的實數 b取任何實數)
2.當x=0時,b為函式在y軸上的截距。
三、一次函式的影象及性質:
1.作法與圖形:通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線,可以作出一次函式的影象——一條直線。因此,作一次函式的影象只需知道2點,並連成直線即可。(通常找函式影象與x軸和y軸的交點)
2.性質:(1)在一次函式上的任意一點p(x,y),都滿足等式:y=kx+b。
(2)一次函式與y軸交點的座標總是(0,b),與x軸總是交於(-b/k,0)正比例函式的影象總是過原點。
3.k,b與函式影象所在象限:
當k>0時,直線必通過
一、三象限,y隨x的增大而增大;
當k<0時,直線必通過
二、四象限,y隨x的增大而減小。
當b>0時,直線必通過
一、二象限;
當b=0時,直線通過原點
當b<0時,直線必通過
三、四象限。
特別地,當b=o時,直線通過原點o(0,0)表示的是正比例函式的影象。
這時,當k>0時,直線只通過
一、三象限;當k<0時,直線只通過
二、四象限。
四、確定一次函式的表示式:
已知點a(x1,y1);b(x2,y2),請確定過點a、b的一次函式的表示式。
(1)設一次函式的表示式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函式上的任意一點p(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最後得到一次函式的表示式。
五、一次函式在生活中的應用:
1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函式。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量s。g=s-ft。
六、常用公式:
1.求函式影象的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2
4.求任意線段的長:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
二次函式
i.定義與定義表示式
一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函式的三種表示式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點p(h,k)]
交點式:y=a(x-x)(x-x ) [僅限於與x軸有交點a(x ,0)和b(x,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象,
可以看出,二次函式的影象是一條拋物線。
iv.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有乙個頂點p,座標為
p ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ= b^2-4ac=0時,p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
v.二次函式與一元二次方程
特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax^2+bx+c,
當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2+bx+c=0
此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1.二次函式y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點座標及對稱軸如下表:
當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點座標為(0,c);
(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點a(x,0)和b(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=|x-x|
當△=0.圖象與x軸只有乙個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫座標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱座標,是最值的取值.
6.用待定係數法求二次函式的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0).
7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.
反比例函式
形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函式,叫做反比例函式。
自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函式影象性質:
反比例函式的影象為雙曲線。
由於反比例函式屬於奇函式,有f(-x)=-f(x),影象關於原點對稱。
另外,從反比例函式的解析式可以得出,在反比例函式的影象上任取一點,向兩個座標軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。
如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函式影象。
當k>0時,反比例函式影象經過一,三象限,是減函式
當k<0時,反比例函式影象經過二,四象限,是增函式
反比例函式影象只能無限趨向於座標軸,無法和座標軸相交。
知識點:
1.過反比例函式圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段,這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為| k |。
2.對於雙曲線y=k/x ,若在分母上加減任意乙個實數 (即 y=k/(x±m)m為常數),就相當於將雙曲線圖象向左或右平移乙個單位。(加乙個數時向左平移,減乙個數時向右平移)
對數函式
對數函式的一般形式為 ,它實際上就是指數函式的反函式。因此指數函式裡對於a的規定,同樣適用於對數函式。
右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形:
可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函式。
(1)對數函式的定義域為大於0的實數集合。
(2)對數函式的值域為全部實數集合。
(3)函式總是通過(1,0)這點。
(4)a大於1時,為單調遞增函式,並且上凸;a小於1大於0時,函式為單調遞減函式,並且下凹。
(5)顯然對數函式無界。
指數函式
指數函式的一般形式為 ,從上面我們對於冪函式的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。
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