1. .函式的單調性
(1)設那麼
上是增函式;
上是減函式.
(2)設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式;如果,則為減函式.
注:如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式;如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式.
2. 奇偶函式的圖象特徵
奇函式的圖象關於原點對稱,偶函式的圖象關於y軸對稱;反過來,如果乙個函式的圖象關於原點對稱,那麼這個函式是奇函式;如果乙個函式的圖象關於y軸對稱,那麼這個函式是偶函式.
注:若函式是偶函式,則;若函式是偶函式,則.
注:對於函式(),恆成立,則函式的對稱軸是函式;兩個函式與的圖象關於直線對稱.
注:若,則函式的圖象關於點對稱;若,則函式為週期為的週期函式.
3. 多項式函式的奇偶性
多項式函式是奇函式的偶次項(即奇數項)的係數全為零.
多項式函式是偶函式的奇次項(即偶數項)的係數全為零.
23.函式的圖象的對稱性
(1)函式的圖象關於直線對稱
.(2)函式的圖象關於直線對稱
.4. 兩個函式圖象的對稱性
(1)函式與函式的圖象關於直線(即軸)對稱.
(2)函式與函式的圖象關於直線對稱.
(3)函式和的圖象關於直線y=x對稱.
25.若將函式的圖象右移、上移個單位,得到函式的圖象;若將曲線的圖象右移、上移個單位,得到曲線的圖象.
5. 互為反函式的兩個函式的關係
.27.若函式存在反函式,則其反函式為,並不是,而函式是的反函式.
6. 幾個常見的函式方程
(1)正比例函式,.
(2)指數函式,.
(3)對數函式,.
(4)冪函式,.
(5)余弦函式,正弦函式,,
. 7. 幾個函式方程的週期(約定a>0)
(1),則的週期t=a;
(2),
或,或,
或,則的週期t=2a;
(3),則的週期t=3a;
(4)且,則的週期t=4a;
(5),則的週期t=5a;
(6),則的週期t=6a.
8. 分數指數冪
(1)(,且).
(2)(,且).
9. 根式的性質
(1).
(2)當為奇數時,;
當為偶數時,.
10. 有理指數冪的運算性質
(1).
(2).
(3).
注:若a>0,p是乙個無理數,則ap表示乙個確定的實數.上述有理指數冪的運算性質,對於無理數指數冪都適用.
33.指數式與對數式的互化式
.34.對數的換底公式
(,且, ,且,).
推論(,且, ,且, ,).
11. 對數的四則運算法則
若a>0,a≠1,m>0,n>0,則
(1);
(2);
(3).
注:設函式,記.若的定義域為,則,且;若的值域為,則,且.對於的情形,需要單獨檢驗.
12. 對數換底不等式及其推論
若, , , ,則函式
(1)當時,在和上為增函式.
(2)(2)當時,在和上為減函式.
推論:設,,,且,則
(1).
(2).
2023年高考數學第一輪複習知識點分類指導
一、集合與簡易邏輯
1.集合元素具有確定性、無序性和互異性.
(1)設p、q為兩個非空實數集合,定義集合p+q=,若,,則p+q中元素的有________個。(答:8)
(2)非空集合,且滿足「若,則」,這樣的共有_____個(答:7)
2. 「極端」情況否忘記:集合,,且,則實數=______.(答:)
3.滿足集合m有______個。 (答:7)
4.運算性質:設全集,若,,,則a=_____,b=___.(答:,)
5.集合的代表元素:(1)設集合,集合n=,則___(答:);(2)設集合,,,則_____(答:)
6.補集思想:已知函式在區間上至少存在乙個實數,使,求實數的取值範圍。 (答:)
7.復合命題真假的判斷:在下列說法中:
⑴「且」為真是「或」為真的充分不必要條件;⑵「且」為假是「或」為真的充分不必要條件;⑶「或」為真是「非」為假的必要不充分條件;⑷「非」為真是「且」為假的必要不充分條件。其中正確的是____答:⑴⑶)
8.充要條件:(1)給出下列命題:
①實數是直線與平行的充要條件;②若是成立的充要條件;③已知,「若,則或」的逆否命題是「若或則」;④「若和都是偶數,則是偶數」的否命題是假命題 。其中正確命題的序號是_______(答:①④);
(2)設命題p:;命題q:。若┐p是┐q的必要而不充分的條件,則實數a的取值範圍是答:)
9. 一元一次不等式的解法:已知關於的不等式的解集為,則關於的不等式的解集為_______(答:)
10. 一元二次不等式的解集:解關於的不等式:。
(答:當時,;當時,或;當時,;當時,;當時,)
11. 對於方程有實數解的問題。(1)對一切恆成立,則的取值範圍是_______(答:);(2)若在內有兩個不等的實根滿足等式,則實數的範圍是_______.(答:)
12.一元二次方程根的分布理論。
(1)實係數方程的一根大於0且小於1,另一根大於1且小於2,則的取值範圍是答:(,1))
(2)不等式對恆成立,則實數的取值範圍是____(答:)。
二、函式
1.對映: ab的概念。
(1)設是集合到的對映,下列說法正確的是 a、中每乙個元素在中必有象 b、中每乙個元素在中必有原象 c、中每乙個元素在中的原象是唯一的 d、是中所在元素的象的集合(答:a);(2)點在對映的作用下的象是,則在作用下點的原象為點________(答:(2,-1));(3)若,,,則到的對映有個,到的對映有個,到的函式有個(答:
81,64,81);(4)設集合,對映滿足條件「對任意的,是奇數」,這樣的對映有____個(答:12)
2.函式: ab是特殊的對映。若函式的定義域、值域都是閉區間,則= (答:2)
3.若解析式相同,值域相同,但其定義域不同的函式,則稱這些函式為「天一函式」,那麼解析式為,值域為的「天一函式」共有__個(答:9)
4.研究函式問題時要樹立定義域優先的原則):
(1)函式的定義域是____(答:);(2)設函式,①若的定義域是r,求實數的取值範圍;②若的值域是r,求實數的取值範圍(答:①;②)
(2)復合函式的定義域:(1)若函式的定義域為,則的定義域為答:);(2)若函式的定義域為,則函式的定義域為________(答:[1,5]).
5.求函式值域(最值)的方法:
(1)配方法―(1)當時,函式在時取得最大值,則的取值範圍是___(答:);
(2)換元法(1)的值域為_____(答:);(2)的值域為_____(答:)(令,。
運用換元法時,要特別要注意新元的範圍);3)的值域為____(答:);(4)的值域為____(答:);
(3)函式有界性法―求函式,,的值域(答:、(0,1)、);
(4)單調性法――求,的值域為______(答:、);
(5)數形結合法――已知點在圓上,求及的取值範圍(答:、);
(6)不等式法―設成等差數列,成等比數列,則的取值範圍是答:)。
(7)導數法―求函式,的最小值。(答:-48)
6.分段函式的概念。(1)設函式,則使得的自變數的取值範圍是____(答:);(2)已知,則不等式的解集是___(答:)
7.求函式解析式的常用方法:
(1)待定係數法―已知為二次函式,且,且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。(答:)
(2)配湊法―(1)已知求的解析式___(答:);(2)若,則函式=___(答:);
(3)方程的思想―已知,求的解析式(答:);
8. 反函式:
(1)函式在區間[1, 2]上存在反函式的充要條件是
a、 b、 c、 d、 (答:d)
(2)設.求的反函式(答:).
(3)反函式的性質:
①單調遞增函式滿足條件= x ,其中≠ 0 ,若的反函式的定義域為,則的定義域是答:[4,7]).
②已知函式,若函式與的圖象關於直線對稱,求的值(答:);
③(1)已知函式,則方程的解______(答:1);
④已知是上的增函式,點在它的圖象上,是它的反函式,那麼不等式的解集為________(答:(2,8));
9.函式的奇偶性。
(1)①定義法:判斷函式的奇偶性____(答:奇函式)。
②等價形式:判斷的奇偶性___.(答:偶函式)
③影象法:奇函式的圖象關於原點對稱;偶函式的圖象關於軸對稱。
(2)函式奇偶性的性質:若為偶函式,則.
若定義在r上的偶函式在上是減函式,且=2,則不等式的解集為______.(答:)
④若為奇函式,則實數=____(答:1).
⑤設是定義域為r的任一函式,,。①判斷與的奇偶性; ②若將函式,表示成乙個奇函式和乙個偶函式之和,則=____(答:①為偶函式,為奇函式;②=)
10.函式的單調性。
(1)若在區間內為增函式,則,已知函式在區間上是增函式,則的取值範圍是____(答:));
(2)若函式在區間(-∞,4] 上是減函式,那麼實數的取值範圍是______(答:));
(3)已知函式在區間上為增函式,則實數的取值範圍_____(答:);
(4)函式的單調遞增區間是________(答:(1,2))。
(5)已知奇函式是定義在上的減函式,若,求實數的取值範圍。(答:)
11. 常見的圖象變換
①設的影象與的影象關於直線對稱,的影象由的影象向右平移1個單位得到,則為答:)
②函式的圖象與軸的交點個數有____個(答:2)
③將函式的圖象向右平移2個單位後又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關於直線對稱,那麼
答:c)
④函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如若函式是偶函式,則函式的對稱軸方程是_______(答:).
12. 函式的對稱性。
①已知二次函式滿足條件且方程有等根,則=_____(答:);
②己知函式,若的影象是,它關於直線對稱影象是關於原點對稱的影象為對應的函式解析式是_______(答:);
③若函式與的圖象關於點(-2,3)對稱,則=______(答:)
13. 函式的週期性。
(1)模擬「三角函式影象」已知定義在上的函式是以2為週期的奇函式,則方程在上至少有個實數根(答:5)
(2)由週期函式的定義
(1) 設是上的奇函式,,當時,,則等於_____(答:);(2)已知是偶函式,且=993, =是奇函式,求的值(答:993);(3)已知是定義在r上的奇函式,且為週期函式,若它的最小正週期為t,則____(答:0)
高中數學函式知識點梳理
餘國陽松桃民族中學 1.函式的單調性 1 設那麼 上是增函式 上是減函式.2 設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式 如果,則為減函式.注 如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式 如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式.2.奇偶函式的圖象特徵 奇函式的圖象關於...
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1.函式的單調性 1 設那麼 上是增函式 上是減函式.2 設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式 如果,則為減函式.注 如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式 如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式.2.奇偶函式的圖象特徵 奇函式的圖象關於原點對稱,偶函式的圖...
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1.函式的單調性 1 設那麼 上是增函式 上是減函式.2 設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式 如果,則為減函式.注 如果函式和都是減函式,則在公共定義域內,和函式也是減函式 如果函式和在其對應的定義域上都是減函式,則復合函式是增函式.2.奇偶函式的圖象特徵 奇函式的圖象關於原點對稱,偶函式的圖...