高中數學基礎知識歸類——獻給2023年高三考生
一.集合與簡易邏輯
1.注意區分集合中元素的形式.如：—函式的定義域；—函式的值域；
—函式圖象上的點集.
2.集合的性質： ①任何乙個集合是它本身的子集,記為.
②空集是任何集合的子集,記為.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:條件為,在討論的時候不要遺忘了的情況
如：,如果,求的取值.(答：)
④,；；.⑤.
⑥元素的個數：.
⑦含個元素的集合的子集個數為；真子集(非空子集)個數為；非空真子集個數為.
3.補集思想常運用於解決否定型或正面較複雜的有關問題。
如：已知函式在區間上至少存在乙個實數,使
,求實數的取值範圍.(答：)
4.原命題:；逆命題:；否命題:；逆否命題:；互為逆否的兩
個命題是等價的.如：「」是「」的條件.(答：充分非必要條件)
5.若且,則是的充分非必要條件(或是的必要非充分條件).
6.注意命題的否定與它的否命題的區別: 命題的否定是；否命題是.
命題「或」的否定是「且」；「且」的否定是「或」.
如：「若和都是偶數，則是偶數」的否命題是「若和不都是偶數,則是奇數」
否定是「若和都是偶數,則是奇數」.
7.常見結論的否定形式
二.函式
1.①對映:是：⑴ 「一對一或多對一」的對應；⑵集合中的元素必有象且中不
同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集).
②一一對映:： ⑴「一對一」的對應；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.
2.函式:是特殊的對映.特殊在定義域和值域都是非空數集！據此可知函式影象與軸
的垂線至多有乙個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.
3.函式的三要素：定義域,值域,對應法則.研究函式的問題一定要注意定義域優先的原則.
4.求定義域:使函式解析式有意義(如:分母;偶次根式被開方數非負;對數真數,底數
且；零指數冪的底數)；實際問題有意義；若定義域為,復合函式定義
域由解出；若定義域為,則定義域相當於時的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函式類)；②逆求法(反函式法)；③換元法(特別注意新元的範圍).
④三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式,運用三角函式有界性來求值域；
⑤不等式法⑥單調性法；⑦數形結合：根據函式的幾何意義,利用數形結合的方法來求值域；
⑧判別式法（慎用）：⑨導數法(一般適用於高次多項式函式).
6.求函式解析式的常用方法：⑴待定係數法(已知所求函式的型別)； ⑵代換(配湊)法；
⑶方程的思想----對已知等式進行賦值，從而得到關於及另外乙個函式的方程組。
7.函式的奇偶性和單調性
⑴函式有奇偶性的必要條件是其定義域是關於原點對稱的,確定奇偶性方法有定義法、影象法等；
⑵若是偶函式,那麼；定義域含零的奇函式必過原點()；
⑶判斷函式奇偶性可用定義的等價形式：或；
⑷復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
注意：若判斷較為複雜解析式函式的奇偶性，應先化簡再判斷；既奇又偶的函式有無數個
(如定義域關於原點對稱即可).
⑸奇函式在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函式在對稱的單調區間內有相反的單調性；
⑹確定函式單調性的方法有定義法、導數法、影象法和特值法(用於小題)等.
⑺復合函式單調性由「同增異減」判定. （提醒：求單調區間時注意定義域）
如：函式的單調遞增區間是.(答：)
8.函式圖象的幾種常見變換⑴平移變換：左右平移左加右減」（注意是針對而言）；
上下平移----「上加下減」(注意是針對而言).⑵翻摺變換：；.
⑶對稱變換：①證明函式影象的對稱性,即證影象上任意點關於對稱中心(軸)的對稱點仍在影象上.
②證明影象與的對稱性,即證上任意點關於對稱中心(軸)的對稱點仍在上,反之亦然.
③函式與的影象關於直線(軸)對稱；函式與函式
的影象關於直線(軸)對稱；
④若函式對時，或恆成立,則影象關
於直線對稱；
⑤若對時,恆成立,則影象關於直線對稱；
⑥函式,的影象關於直線對稱(由確定)；
⑦函式與的影象關於直線對稱；
⑧函式,的影象關於直線對稱(由確定)；
⑨函式與的影象關於原點成中心對稱；函式,
的影象關於點對稱；
⑩函式與函式的影象關於直線對稱；曲線：,關於
,的對稱曲線的方程為(或；
曲線：關於點的對稱曲線方程為：.
9.函式的週期性：⑴若對時恆成立,則的週期為；
⑵若是偶函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
⑶若奇函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
⑷若關於點,對稱,則的週期為；
⑸的圖象關於直線,對稱,則函式的週期為；
⑹對時,或,則的週期為；
10.對數：⑴；⑵對數恒等式；
⑶；；⑷對數換底公式；
推論：.
(以上且均不等於)
11.方程有解(為的值域)；恆成立,
恆成立.
12.恆成立問題的處理方法：⑴分離引數法(最值法)； ⑵轉化為一元二次方程根的分布問題；
13.處理二次函式的問題勿忘數形結合；二次函式在閉區間上必有最值，求最值問題用「兩看法」：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係；
14.二次函式解析式的三種形式： ①一般式：；②頂點式：
； ③零點式：.
15.一元二次方程實根分布:先畫圖再研究、軸與區間關係、區間端點函式值符號;
16.復合函式：⑴復合函式定義域求法：若的定義域為,其復合函式的定義域可由
不等式解出；若的定義域為,求的定義域，相當於時,求
的值域；⑵復合函式的單調性由「同增異減」判定.
17.對於反函式,應掌握以下一些結論：⑴定義域上的單調函式必有反函式；⑵奇函式的反函式
也是奇函式；⑶定義域為非單元素集的偶函式不存在反函式；⑷週期函式不存在反函式；
⑸互為反函式的兩個函式在各自的定義域具有相同的單調性；⑹與互為
反函式,設的定義域為,值域為,則有,.
18.依據單調性,利用一次函式在區間上的保號性可解決求一類引數的範圍問題：
(或) (或)；
19.函式的影象是雙曲線：①兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和
直線(由分子、分母中的係數確定)；②對稱中心是點；③反函式為；
20.函式：增區間為,減區間為.
如：已知函式在區間上為增函式,則實數的取值範圍是(答：).
三.數列
1.由求, 注意驗證是否包含在後面的公式中,若不符合要
單獨列出.如：數列滿足，求(答：).
2.等差數列(為常數)
；3.等差數列的性質： ①,；
②(反之不一定成立)；特別地,當時,有；
③若、是等差數列,則(、是非零常數)是等差數列；
④等差數列的「間隔相等的連續等長片斷和序列」即仍是等差數列；
⑤等差數列,當項數為時, ,；項數為時,
, ,且；.
⑥首項為正(或為負)的遞減(或遞增)的等差數列前n項和的最大(或最小)問題,轉化為解不等式
(或).也可用的二次函式關係來分析.
⑦若,則；若,則；
若,則**+n=0；s3m=3(s2m－**)；.
4.等比數列.
5.等比數列的性質
①,；②若、是等比數列，則、等也是等比數列；
③；④(反之不一定成
立)；. ⑤等比數列中(注：各項均不為0)
仍是等比數列. ⑥等比數列當項數為時,；項數為時,.
6.①如果數列是等差數列,則數列(總有意義)是等比數列；如果數列是等比數列,
則數列是等差數列；
②若既是等差數列又是等比數列,則是非零常數數列；
③如果兩個等差數列有公共項,那麼由他們的公共項順次組成的數列也是等差數列，且新數列的公差
是原兩個等差數列公差的最小公倍數；如果乙個等差數列和乙個等比數列有公共項,那麼由他們的
公共項順次組成的數列是等比數列,由特殊到一般的方法探求其通項；
④三個數成等差的設法：；四個數成等差的設法：；
三個數成等比的設法：；四個數成等比的錯誤設法： (為什麼？)
7.數列的通項的求法：⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式.
⑵已知(即)求用作差法：.
⑶已知求用作商法：.
⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法.
⑹已知數列遞推式求,用構造法(構造等差、等比數列)：①形如, ,
(為常數)的遞推數列都可以用待定係數法轉化為公比為的等比數列後,
再求.②形如的遞推數列都可以用 「取倒數法」求通項.
8.數列求和的方法：①公式法：等差數列,等比數列求和公式；②分組求和法；③倒序相加；④錯位
相減；⑤**通項法.公式：；；
；；常見裂項公式；
；；常見放縮公式：.
9.「分期付款」、「森林木材」型應用問題
⑴這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，務必「卡手指」，細心計算
「年限」.對於「森林木材」既增長又砍伐的問題,則常選用「統一法」統一到「最後」解決.
⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：若每期存入本金元,每期利
率為,則期後本利和為： (等差數列問
題）；②複利問題：按揭貸款的分期等額還款(複利)模型：若貸款(向銀行借款)元,採用分期等
額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)後為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利
率為（按複利），那麼每期等額還款元應滿足：
(等比數列問題).
四.三角函式
1.終邊與終邊相同；終邊與終邊共線；終邊
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