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高考壓軸大題突破練
(二)直線與圓錐曲線(2)
1.已知b是橢圓e：＋＝1(a>b>0)上的一點，f是橢圓右焦點，且bf⊥x軸，b.
(1)求橢圓e的方程；
(2)設a1和a2是長軸的兩個端點，直線l垂直於a1a2的延長線於點d，|od|＝4，p是l上異於點d的任意一點．直線a1p交橢圓e於m(不同於a1，a2)，設λ＝·，求λ的取值範圍．
2．(2015·課標全國ⅱ)已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(2，)在c上．
(1)求c的方程；
(2)直線l不過原點o且不平行於座標軸，l與c有兩個交點a，b，線段ab的中點為m，證明：直線om的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．
3．設橢圓c：＋＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為.
(1)求c的方程；
(2)過點(10,0)作直線l與橢圓c交於a，b兩點，線段ab的中點在直線y＝x－1上，求l的方程．
4．已知橢圓c經過點p(，)，兩焦點座標分別為f1(－，0)，f2(，0)．
(1)求橢圓c的標準方程；
(2)已知點a(0，－1)，直線l與橢圓c交於m，n兩點．若△amn是以a為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線l的方程．
高考壓軸大題突破練
(二)直線與圓錐曲線(2)
1．解 (1)依題意得半焦距c＝1，
設左焦點為f′，
∴|ff′|＝2c＝2，
又∵|bf|＝，bf⊥x軸，
∴在rt△bff′中，|bf′|＝＝，
∵2a＝|bf|＋|bf′|＝4，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝22－12＝3.
所以橢圓e的方程為＋＝1.
(2)由(1)知，a1(－2,0)，a2(2,0)．
設m(x0，y0)．
∵m在橢圓e上，∴y＝(4－x)．
由p，m，a1三點共線可得p.
∴＝(x0－2，y0)，＝.
∴·＝2(x0－2)＋＝(2－x0)，
∵－22．解 (1)由題意得＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.
所以c的方程為＋＝1.
(2)設直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)．
將y＝kx＋b代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xm＝＝，ym＝k·xm＋b＝.
於是直線om的斜率kom＝＝－，
即kom·k＝－.
所以直線om的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．
3．解 (1)由橢圓過點(0,4)，知b＝4.
又e＝＝，所以＝，解得a＝5.
所以c的方程為＋＝1.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中點為m(a，a－1)，
則＋＝1，＋＝1.
兩式相減並變形，
得＋＝0，
因為x1＋x2＝2a，y1＋y2＝2(a－1)，
＝kab＝，
所以＋·＝0.
解得a＝或a＝5.
當a＝5時，點m(5,4)在橢圓外部，不符合要求，
所以kab＝＝.
故直線l的方程為y＝(x－10)，即4x－45y－40＝0.
4．解 (1)設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
依題意，得2a＝|pf1|＋|pf2|＝＋＝4，
所以a＝2.
又c＝，所以b2＝a2－c2＝1.
於是橢圓c的標準方程為＋y2＝1.
(2)依題意，顯然直線l的斜率存在．
設直線l的方程為y＝kx＋m，
由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
得4k2－m2＋1>0.(*)
設m(x1，y1)，n(x2，y2)，線段mn的中點為q(x0，y0)，
則於是x0＝－，y0＝kx0＋m＝.
因為|am|＝|an|，線段mn的中點為q，
所以aq⊥mn.
①當x0≠0，即k≠0且m≠0時，
k＝－1，整理得3m＝4k2＋1.(**)
因為am⊥an，＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，
所以·＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(m＋1)(x1＋x2)＋m2＋2m＋1＝(1＋k2)＋k(m＋1)(－)＋m2＋2m＋1＝0，
整理得5m2＋2m－3＝0，
解得m＝或m＝－1.
當m＝－1時，由(**)，知不合題意捨去．
由(*)(**)，知m＝時，k＝±.
此時直線l的方程為x－5y＋3＝0或x＋5y－3＝0.
②當x0＝0時．
(ⅰ)當k＝0時，直線l的方程為y＝m，代入橢圓方程中得x＝±2.
設m(－2，m)，n(2，m)，依題意，若△amn為等腰直角三角形，
則|qn|＝|aq|，
即2＝|1＋m|，解得m＝－1(捨去)或m＝，
故此時直線l的方程為y＝.
(ⅱ)當k≠0且m＝0時，即直線l過原點．由橢圓的對稱性有q(0,0)，則依題意不能有aq⊥mn，即此時不滿足△amn為等腰直角三角形．
綜上，直線l的方程為y＝或x－5y＋3＝0或x＋5y－3＝0.
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