2009-2023年高考數學模擬壓軸大題總結+詳細解析
1.（重慶八中高2010級高三（上）第一次）已知在數列中，，其中，
是函式的乙個極值點.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，，求證：.
解答. (1) 由題意得： ，即
故，則當時，數列是以
為首項，為公比的等比數列，所以由
此式對也成立，所以――――――――6分
（2），因為，所以，
則 ，有
故―――――――12分
2.（南充高中2010屆高三第二次）已知函式
f(x)=，其中n．
（1）求函式f(x)的極大值和極小值；
（2）設函式f(x)取得極大值時x=，令=23，=，若
p≤解答（1） =，……1分
=。……2分
令，從而x1所以當x=時，y極大=；當x=1時，y極小=0. ……5分
當n為奇數時f(x)的增減如下表
所以當x=時，y極大=。……8分
（2）由（1）知f(x)在x=時取得最大值。所以=，
=23=，
=。，即；
所以實數p和q的取值範圍分別是，。……14
3.(2010屆揚州市高三數學學情調研測試)
已知數列，設 ，數列。
（1）求證：是等差數列2）求數列的前n項和sn；
（3）若一切正整數n恆成立，求實數m的取值範圍。
解答：（1）由題意知，
∴數列的等差數列
（2）由（1）知，
於是兩式相減得
（3）∴當n=1時，
當∴當n=1時，取最大值是又即
4.(安徽省野寨中學2010屆高三第二次)已知函式.
（1）若在[0，2]上是增函式，是方程的乙個實根，求證：；
（2）若的圖象上任意不同兩點的連線斜率小於1，求實數的取值範圍.
解答：（1）
由題可知在[0，2]上恆成立.
當時此式顯然成立，；
當時有恆成立，易見應當有，
可見在[0，2]上恆成立，須有 又
（2）設是圖象上的兩個不同點，則
此式對於恆成立，從而
此式對於也恆成立，從而
注：用導數方法求解略，按相應步驟給分.
5.(衡陽市八中2010屆高三第二次數學（理科）設函式＞， (1) 求函式的極大值與極小值；
(2) 若對函式的，總存在相應的，使得成立，求實數a的取值範圍.
解答(1)定義域為r
令，且∴：極大值為，極小值為
(2)依題意，只需在區間上有
∴在↑，↓取小值或
又∴當＜＜時，當時，
又在↓∴ 式即為
或解的 （無解
6.(遼寧省東北育才學校2010屆高三第一次模擬（數學理）
已知函式
（ⅰ）為定義域上的單調函式，求實數的取值範圍；
（ⅱ）當時，求函式的最大值；
（ⅲ）當時，且，證明：.
解答：（1）， ∴
因為對，有
∴不存在實數使，對恆成立 ………2分
由恒成立，∴，
而，所以
經檢驗，當時，對恆成立。
∴當時，為定義域上的單調增函式4分
（2）當時，由，得
當時，，當時，
∴在時取得最大值，∴此時函式的最大值為 ………7分
（3）由（2）得，對恆成立，當且僅當時取等號
當時，，∵，∴∴
同理可得
，12分
法二：當時（由待證命題的結構進行猜想，輔助函式，求差得之），在上遞增
令在上總有，即在上遞增
當時，即
令由（2）它在上遞減 ∴
即 ∵
∴，綜上成立 ………12分
其中7.(銀川一中2010屆高三年級第二次)
已知 （ⅰ）當且有最小值為2時，求的值；
（ⅱ）當時，有恆成立，求實數的取值範圍
解答（1）=
又，當，解得
當，解得，捨去
所以（2），即
，，，，
，依題意有
而函式因為，，所以
8.(廣東省廣州市2010屆第二次調研數學試題（理科）
等比數列{}的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函式且均為常數)的影象上.
（1）求r的值；
（11）當b=2時，記求數列的前項和
解答:因為對任意的,點，均在函式且均為常數)的影象上.所以得,
當時,,
當時,,
又因為{}為等比數列, 所以, 公比為, 所以
（2）當b=2時，,
則相減,得
所以9.(廣東省廣州市2010屆第二次調研數學試題（理科）
.設函式有兩個極值點，且
（i）求的取值範圍，並討論的單調性；
（ii）證明：
解答: （i）
令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大於的不相等的實根，其充要條件為，得
⑴當時，在內為增函式；
⑵當時，在內為減函式；
⑶當時，在內為增函式；
（ii）由（i），設，則
⑴當時，在單調遞增；
⑵當時，，在單調遞減。故
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10(湖北黃岡中學2010屆8月份月考數學試題（理科）已知是定義在[-1,1]上的奇函式，且，若任意的，當時，總有．
（1）判斷函式在[-1,1]上的單調性，並證明你的結論；
（2）解不等式：；
（3）若對所有的恆成立，其中（是常數），求實數的取值範圍．
解答（1）在上是增函式，證明如下：
任取，且，則，於是有，而，故，故在上是增函式；
（2）由在上是增函式知：
，故不等式的解集為．
（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恆成立，只需成立，即成立．
①當時，的取值範圍為；
②當時，的取值範圍為；
③當時，的取值範圍為r．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11.(湖北黃岡中學2010屆8月份月考數學試題（理科）已知
（1）若函式時有相同的值域，求b的取值範圍；
（2）若方程在（0，2）上有兩個不同的根x1、x2，求b的取值範圍，並證明
解答（1）當時，的圖象是開口向上對稱軸為的拋物線，
∴的值域為，∴的值域也為的充要條件
是，即b的取值範圍為
（2），由分析知
不妨設因為上是單調函式，所以在上至多有乙個解.
若，即x1、x2就是的解，，與題設矛盾.
因此，由，所以；
由所以故當時，方程上有兩個解.
由消去b，得由
12.(湖北省黃岡中學2010屆高三10月份)
已知數列中，，且．
(ⅰ) 求數列的通項公式；
(ⅱ) 令，數列的前項和為，試比較與的大小；
(ⅲ) 令，數列的前項和為．求證：對任意，
都有 ．
解：(ⅰ)由題知， ，
由累加法，當時，
代入，得時，
又，故4分
（ii）時，．
方法1：當時，；當時，；
當時，．
猜想當時6分
下面用數學歸納法證明：
①當時，由上可知成立；
②假設時，上式成立，即.
當時，左邊
，所以當時成立．
由①②可知當時
綜上所述：當時,；當時, ；
當時10分
方法2：
記函式所以6分
則所以．
由於，此時；
，此時；
，此時；
由於，，故時，，此時．
綜上所述：當時，；當時10分
（iii）
當時，所以當時＋．且
故對，得證14分
13.(湖北省部分重點高中2010屆高三聯考（數學理）已知二次函式（為常數且），滿足條件，且方程有等根．
(ⅰ)求的解析式；
(ⅱ)設的反函式為,若對恆成立，求實數的取值範圍；
(ⅲ)是否存在實數，使的定義域和值域分別為和，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．
解又方程有等根有等根，
3分（ⅱ）由（i）得
5分對恆成立對
， 解得
的取值範圍是9分
（ⅲ）∵為開口向下的拋物線，對稱軸為，
1 當時，在上是減函式，∴ (*)，
兩式相減得：，∵，上式除以得：，代入 (*) 化簡得：無實數解．
2 當時，在上是增函式，∴ ，
3 當時，對稱軸，與矛盾綜合上述知，存在滿足條件13分
14. (湖北省部分重點高中2010屆高三聯考（數學理已知函式（其中為自然對數的底數），。
（ⅰ）若在處的切線與直線平行，試用表示，並求此時在上的最大值；
（ⅱ）若時方程在上恰有兩個相異實根，求的取值範圍；
（ⅲ）在，時,求使的圖象恆在圖象上方的最大自然數。
解：（ⅰ），，由得，………2分
此時，①當時，，在上為增函式，則此時；
②當時，，在上為增函式，故在上為增函式，則此時；
③當時，，在上為增函式，在上為減函式，
若，即時，故在上為增函式，在上為減函式，則此時，
若，即時，在上為增函式，則此時；
綜上所述：當時；當時6分
（ⅱ），，故在上單調遞減；在上單調遞增；故在上恰有兩個相異實根，………10分
（ⅲ）恆成立（），因為故在上單調遞減；在上單調遞增；故（），
設，則，故在上單調遞增；在上單調遞減；
而，且，
故存在使，且時，時，又
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