2023年高考數學分類（4）函式的應用
一、選擇題
1．（2023年高考（北京文））函式的零點個數為 （ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
2 ．（2023年高考（天津理））函式在區間內的零點個數是 （ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
3 ．（2023年高考（江西文））如右圖,oa=2(單位:m),ob=1(單位:m),oa與ob的夾角為,以a為圓心,ab為半徑作圓弧與線段oa延長線交與點 c．甲.
乙兩質點同時從點o出發,甲先以速度1(單位:ms)沿線段ob行至點b,再以速度3(單位:ms)沿圓弧行至點c後停止,乙以速率2(單位:
m/s)沿線段oa行至a點後停止.設t時刻甲、乙所到的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為s(t)(s(0)=0),則函式y=s(t)的影象大致是
4．（2023年高考（湖南文））設定義在上的函式是最小正週期為的偶函式,是的導函式,當時,;當且時 ,,則函式在上的零點個數為 （ ）
a．2 b．4 c．5 d．8
5．（2023年高考（湖北文））函式在區間上的零點個數為 （ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
6．（2023年高考（遼寧理））設函式f(x)滿足f()=f(x),f(x)=f(2x),且當時,f(x)=x3.又函式g(x)=|xcos|,則函式h (x)=g(x)-f(x)在上的零點個數為 （ ）
a．5 b．6 c．7 d．8
7．（2023年高考（湖北理））函式在區間上的零點個數為 （ ）
a．4 b．5 c．6 d．7
二、解答題
8．（2023年高考（上海春））本題共有2個小題,第1小題滿分7分,第2小題滿分7分.
某環線地鐵按內、外環線同時執行,內、外環線的長均為千公尺(忽略內、外環線長度差異).
(1)當列列車同時在內環線上執行時,要使內環線乘客最長候車時間為分鐘,求內環線列車的最小平均速度;
(2)新調整的方案要求內環線列車平均速度為千公尺/小時,外環線列車平均速度為千公尺/小時.現內、外環線共有列列車全部投入執行,要使內、外環線乘客的最長候車時間之差不超過分鐘,問:內、外環線應名投入幾列列車執行?
9．（2023年高考（江蘇））如圖,建立平面直角座標系,軸在地平面上,軸垂直於地平面,單位長度為1千公尺.某炮位於座標原點.已知炮彈發射後的軌跡在方程表示的曲線上,其中與發射方向有關.
炮的射程是指炮彈落地點的橫座標.
(1)求炮的最大射程;
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千公尺,試問它的橫座標不超過多少時,
炮彈可以擊中它?請說明理由.
10．（2023年高考（湖南理））某企業接到生產3000臺某產品的a,b,c三種部件的訂單,每台產品需要這三種部件的數量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產a部件6件,或b部件3件,或c部件2件.
該企業計畫安排200名工人分成三組分別生產這三種部件,生產b部件的人數與生產a部件的人數成正比,比例係數為k(k為正整數).
(1)設生產a部件的人數為x,分別寫出完成a,b,c三種部件生產需要的時間;
(2)假設這三種部件的生產同時開工,試確定正整數k的值,使完成訂單任務的時間最短,並給出時間最短時具體的人數分組方案.
參***
一、選擇題
1. 【答案】b
【解析】函式的零點,即令,根據此題可得,在平面直角座標系中分別畫出這兩個函式的影象,可得交點只有乙個,所以零點只有乙個,故選答案b.
【考點定位】本小題表面上考查的是零點問題,實質上考查的是函式影象問題,該題涉及到影象冪函式和指數函式.
2. 【答案】b
【命題意圖】本試題主要考查了函式與方程思想,函式的零點的概念,零點存在定理以及作圖與用圖的數學能力.
【解析】解法1:因為,,即且函式在內連續不斷,故在內的零點個數是1.
解法2:設,,在同一座標系中作出兩函式的影象如圖所示:可知b正確.
3. 【答案】a
4. 【答案】b
【解析】由當x∈(0,π) 且x≠時 ,,知
又時,0
【點評】本題考查函式的週期性、奇偶性、影象及兩個影象的交點問題.
5. d【解析】由,得或;其中,由,得,故.又因為,所以.所以零點的個數為個.故選d.
【點評】本題考查函式的零點,分類討論的數學思想.判斷函式的零點一般有直接法與圖象法兩種方法.對於三角函式的零點問題,一般需要規定自變數的取值範圍;否則,如果定義域是,則零點將會有無數個;來年需注意數形結合法求解函式的零點個數,所在的區間等問題.
6. 【答案】b
【解析】因為當時,f(x)=x3. 所以當,f(x)=f(2x)=(2x)3,
當時,g(x)=xcos;當時,g(x)= xcos,注意到函式f(x)、 g(x)都是偶函式,且f(0)= g(0), f(1)= g(1),,作出函式f(x)、 g(x)的大致圖象,函式h(x)除了0、1這兩個零點之外,分別在區間上各有乙個零點,共有6個零點,故選b
【點評】本題主要考查函式的奇偶性、對稱性、函式的零點,考查轉化能力、運算求解能力、推理論證能力以及分類討論思想、數形結合思想,難度較大.
7.考點分析:本題考察三角函式的週期性以及零點的概念.
解析:,則或,,又,
所以共有6個解.選c.
二、解答題
8.解:(1)設內環線列車執行的平均速度為千公尺/小時,由題意可知,
所以,要使內環線乘客最長候車時間為10分鐘,列車的最小平均速度是20千公尺/小時.
(2)設內環線投入列列車執行,則外環線投入列列車執行,內、外環線乘客最長候車時間分別為分鐘,則
於是有又,所以,所以當內環線投入10列,外環線投入8列列車執行,內、外環線乘客最長候車時間之差不超過1分鐘.
9. 【答案】解:(1)在中,令,得.
由實際意義和題設條件知.
∴,當且僅當時取等號.
∴炮的最大射程是10千公尺.
(2)∵,∴炮彈可以擊中目標等價於存在,使成立,
即關於的方程有正根.
由得.此時,(不考慮另一根).
∴當不超過6千公尺時,炮彈可以擊中目標.
【考點】函式、方程和基本不等式的應用.
【解析】(1)求炮的最大射程即求與軸的橫座標,求出後應用基本不等式求解.
(2)求炮彈擊中目標時的橫座標的最大值,由一元二次方程根的判別式求解.
10. 【解析】
解:(ⅰ)設完成a,b,c三種部件的生產任務需要的時間(單位:天)分別為
由題設有
期中均為1到200之間的正整數.
(ⅱ)完成訂單任務的時間為其定義域為
易知,為減函式,為增函式.注意到
於是 (1)當時, 此時
, 由函式的單調性知,當時取得最小值,解得
.由於. 故當時完成訂單任務的時間最短,且最短時間為.
(2)當時, 由於為正整數,故,此時易知為增函式,則 .
由函式的單調性知,當時取得最小值,解得.由於
此時完成訂單任務的最短時間大於.
(3)當時, 由於為正整數,故,此時由函式的單調性知,
當時取得最小值,解得.類似(1)的討論.此時
完成訂單任務的最短時間為,大於.
綜上所述,當時完成訂單任務的時間最短,此時生產a,b,c三種部件的人數
分別為44,88,68.
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