備戰2012高考數學2
1．（本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線c：的右準線與一條漸近線交於點m，f是雙曲線c的右焦點，o為座標原點.
（i）求證：；
（ii）若且雙曲線c的離心率，求雙曲線c的方程；
（iii）在（ii）的條件下，直線過點a（0，1）與雙曲線c右支交於不同的兩點p、q且p在a、q之間，滿足，試判斷的範圍，並用代數方法給出證明.
解：（i）右準線，漸近線
，3分 （ii）
雙曲線c的方程為7分
（iii）由題意可得8分
證明：設，點
由得與雙曲線c右支交於不同的兩點p、q
11分 ，得
的取值範圍是（0，113分
2．（本小題滿分13分）
已知函式，
數列滿足
（i）求數列的通項公式；
（ii）設x軸、直線與函式的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求；
（iii）在集合，且中，是否存在正整數n，使得不等式對一切恆成立？若存在，則這樣的正整數n共有多少個？並求出滿足條件的最小的正整數n；若不存在，請說明理由.
（iv）請構造乙個與有關的數列，使得存在，並求出這個極限值.
解：（i）
1分……將這n個式子相加，得
3分 （ii）為一直角梯形（時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為，高為1
6分 （iii）設滿足條件的正整數n存在，則
又均滿足條件
它們構成首項為2010，公差為2的等差數列.
設共有m個滿足條件的正整數n，則，解得
中滿足條件的正整數n存在，共有495個9分
（iv）設，即
則顯然，其極限存在，並且 ……10分
注：（c為非零常數），等都能使存在.
19. （本小題滿分14分）
設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2.
（i）求此雙曲線的漸近線的方程；
（ii）若a、b分別為上的點，且，求線段ab的中點m的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線；
（iii）過點能否作出直線，使與雙曲線交於p、q兩點，且.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
解：（i）
，漸近線方程為4分
（ii）設，ab的中點
則m的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓.（9分）
（iii）假設存在滿足條件的直線
設由（i）（ii）得
∴k不存在，即不存在滿足條件的直線14分
3. （本小題滿分13分）
已知數列的前n項和為，且對任意自然數都成立，其中m為常數，且.
（i）求證數列是等比數列；
（ii）設數列的公比，數列滿足：
，試問當m為何值時，
成立？解：（i）由已知
（2）由得：，即對任意都成立
（ii）當時，
由題意知13分
4．（本小題滿分12分）
設橢圓的左焦點為，上頂點為，過點與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸於，兩點，且分向量所成的比為8∶5．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程．
解：（1）設點其中．
由分所成的比為8∶5，得2分
4分而，
5分由①②知．
6分（2）滿足條件的圓心為，
8分圓半徑10分
由圓與直線：相切得，，
又．∴橢圓方程為． 12分
5．（本小題滿分14分）
（理）給定正整數和正數，對於滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，並求出取最大值時的首項和公差．
（文）給定正整數和正數，對於滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，並求出取最大值時的首項和公差．
（理）解：設公差為，則． 3分
4分7分
又．∴，當且僅當時，等號成立11分
13分當數列首項，公差時，，
∴的最大值為14分
（文）解：設公差為，則． 3分
6分又．
∴．當且僅當時，等號成立11分
13分當數列首項，公差時，．
∴的最大值為14分
6．（本小題滿分12分）
垂直於x軸的直線交雙曲線於m、n不同兩點，a1、a2分別為雙曲線的左頂點和右頂點，設直線a1m與a2n交於點p（x0，y0）
（ⅰ）證明：
（ⅱ）過p作斜率為的直線l，原點到直線l的距離為d，求d的最小值.
解（ⅰ）證明：
①直線a2n的方程為 ②……4分
①×②，得
（ⅱ）……10分
當……12分
7．（本小題滿分14分）
已知函式
（ⅰ）若
（ⅱ）若
（ⅲ）若的大小關係（不必寫出比較過程）.
解：（ⅰ）
（ⅱ）設，
……6分
（ⅲ）在題設條件下，當k為偶數時
當k為奇數時……14分
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