專題二：函式與導數的交匯題型分析及解題策略
【命題趨向】
函式的觀點和方法既貫穿了高中代數的全過程，又是學習高等數學的基礎，是高考數學中極為重要的內容，縱觀全國及各自主命題省市近三年的高考試題，函式與導數在選擇、填空、解答三種題型中每年都有試題，分值26分左右，如08年福建文11題理12題(5分)為容易題，考查函式與導函式圖象之間的關係、08年江蘇14題(5分)為容易題，考查函式值恆成立與導數研究單調性、08年北京文17題(12分)為中檔題考查函式單調性、奇偶性與導數的交匯、08年湖北理20題(12分)為中檔題，考查利用導數解決函式應用題、08年遼寧理22題(12分)為中檔題，考查函式利用導數確定函式極值與單調性問題等.**2023年關於函式與導數的命題趨勢，仍然是難易結合，既有基本題也有綜合題，函式與導數的交匯的考查既有基本題也有綜合題，基本題以考查基本概念與運算為主，考查函式的基礎知識及函式性質及圖象為主，同時考查導數的相關知識，知識載體主要是三次函式、指數函式與對數函式綜合題.主要題型：
(1)利用導數研究函式的單調性、極值與最值問題；(2)考查以函式為載體的實際應用題，主要是首先建立所求量的目標函式，再利用導數進行求解.
【考試要求】
1．了解函式的單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性、奇偶性的方法．
2．了解反函式的概念及互為反函式的函式影象間的關係，會求一些簡單函式的反函式．
3．掌握有理指數冪的運算性質．掌握指數函式的概念、圖象和性質．
4．掌握對數的運算性質；掌握對數函式的概念、影象和性質．
5．能夠運用函式的性質、指數函式和對數函式的性質解決某些簡單的實際問題．
6．了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函式在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函式的概念．
7．熟記基本導數公式（c，xm（m為有理數），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導數）；掌握兩個函式和、差、積、商的求導法則．了解復合函式的求導法則，會求某些簡單函式的導數．
8．理解可導函式的單調性與其導數的關係；了解可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函式）的最大值和最小值．
【考點透視】
高考對導數的考查主要以工具的方式進行命題，充分與函式相結合.其主要考點：
（1）考查利用導數研究函式的性質（單調性、極值與最值）；
（2）考查原函式與導函式之間的關係；
（3）考查利用導數與函式相結合的實際應用題.從題型及考查難度上來看主要有以下幾個特點：①以填空題、選擇題考查導數的概念、求函式的導數、求單調區間、求函式的極值與最值；②與導數的幾何意義相結合的函式綜合題，利用導數求解函式的單調性或求單調區間、最值或極值，屬於中檔題；③利用導數求實際應用問題中最值，為中檔偏難題.
【典例分析】
題型一導函式與原函式圖象之間的關係
如果原函式定義域內可導，則原函式的圖象f(x)與其導函式f(x)的圖象有密切的關係：
1．導函式f(x)在x軸上、下方圖象與原函式圖象上公升、下降的對應關係：
（1）若導函式f(x)在區間d上恒有f(x)＞0，則f(x)在區間d上為增函式，由此進一步得到導函式f(x)圖象在x軸上方的圖象對應的區間d為原函式圖象中的上公升區間d；
（2）若導函式f(x)在區間d上恒有f(x)＜0，則f(x)在區間d上為減函式，由此進一步得到導函式f(x)圖象在x軸下方的圖象對應的區間為原函式圖象中的下降區間.
2．導函式f(x)圖象的零點與原函式圖象的極值點對應關係：導函式f(x)圖象的零點是原函
數的極值點.如果在零點的左側為正，右側為負，則導函式的零點為原函式的極大值點；
如果在零點的左側為負，右側為正，則導函式的零點為原函式的極小值點.
【例1】 如果函式y＝f(x)的圖象如右圖，那麼導函式y＝f(x)的圖象可能是
【分析】 根據原函式y＝f(x)的圖象可知，f(x)有在兩個上公升區間，有兩個下降區間，且第乙個期間的上公升區間，然後相間出現，則反映在導函式圖象上就是有兩部分圖象在x軸的上方，有兩部分圖象在x軸的下方，且第一部分在x軸上方，然後相間出現.
【解】 由原函式的單調性可以得到導函式的正負情況依次是正→負→正→負,只有答案a滿足.
【點評】 本題觀察圖象時主要從兩個方面：(1)觀察原函式f(x)的圖象哪些的上公升區間？哪些下降區間？
；(2)觀察導函式f(x)的圖象哪些區間在大於零的區間？哪些部分昌小於零的區間？
【例2】 設f(x)是函式f(x)的導函式，y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有
可能是【分析】 先觀察所給出的導函式y＝f(x)的圖象的正負區間，再觀察所給的選項的增減區間，二者結合起來即可作出正確的選擇.本題還可以通過確定導函式y＝f(x)的圖象零點0、2對應原函式的極大或極小值點來判斷圖象.
【解法1】 由y＝f(x)的圖象可以清晰地看出，當x∈(0,2)時，y＝f(x)＜0，則f(x)為減函式，只有c項符合，故選c.
【解法2】 在導函式f(x)的圖象中，零點0的左側函式值為正，右側為負，由可知原函式f(x)在x＝0時取得極大值.又零點2的左側為負，右側為正，由此可知原函式f(x)在x＝0時取得極小值，只有c適合，故選c.
【點評】 (1)導函式值的符號決定函式的單調性為「正增、負減」，導函式的零點確定原函式的極值點；(2)導函式的增減性與函式增減性之間沒有直接的關係，但它刻畫函式圖象上的點的切線斜率的變化趨勢.
題型二利用導數求解函式的單調性問題
若f(x)在某區間上可導，則由f(x)＞0(f(x)＜0)可推出f(x)為增（減）函式，但反之則不一定，如：函式f(x)＝x3在r上遞增，而f(x)≥0.f(x)在區間d內單調遞增(減)的充要條件是f(x0)≥0(≤0)，且f(x)在(a，b)的任意子區間上都不恒為零.
利用導數求解函式單調性的主要題型：(1)根據函式解析式，求函式的單調區間；(2)根據函式的單調性函式求解引數問題；(3)求解與函式單調性相關的其它問題，如函式圖象的零點、不等式恆成立等問題.
【例3】 (08全國高考)已知函式f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈r．(ⅰ)討論函式f(x)的單調區間；(ⅱ)設函式f(x)在區間(－，－)內是減函式，求a的取值範圍．
【分析】 第（ⅰ）小題先求導函式f(x)，由於含有引數a，根據判別式確定對a的分類標準，進而確定單調區間；第（ⅱ）小題根據第（ⅰ）小題的結果，建立關於a的不等式組，由此可確定a的範圍.
【解】 (ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求導得f(x)＝3x2＋2ax＋1，
當a2≤3時，△＝4(a2－3)≤0，f(x)≥0，f(x)在r上遞增，
當a2＞3，f(x)＝求得兩根為x＝，則
函式f(x)在區間(－∞，)上遞增，在區間(，)上遞減，
在區間(，＋∞)上遞增.
(ⅱ)由(ⅰ)得，且a2＞3，解得a≥2.
【點評】 本題是利用導數求解函式單調性問題的兩類最典型的題型.由於函式解析式中含有字母引數a，因此解答第(ⅰ)小題時注意分類討論.第(ⅱ)小題的解答是根據第(ⅰ)小題的結果，利用集合集合間的關係建立不等式來求解的.
第(ⅱ)小題還是利用函式在已知區間上減函式建立不等式來求解.
題型三求函式的極值問題
極值點的導數一定為0，但導數為0的點不一定是極值點，同時不可導的點可能是極值點.因此函式的極值點只能在導數為0的點或不可導的點產生.利用導數求函式的極值主要題型：
(1)根據函式解析式求極值；(2)根據函式的極值求解引數問題.解答時要注意準確應用利用導數求極值的原理求解.
【例4】 (08·四川)設x＝1和x＝2是函式f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點.(ⅰ)求a和b的值；(ⅱ)略.
【分析】 先求導函式f(x)，然後由x＝1和x＝2是f(x)＝0的兩個根建立關於a、b的方程組求解.
【解】 因為f(x)＝5x4＋3ax2＋b，
由x＝1和x＝2是函式f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點，所以f(1)＝0，且f(2)＝0，
即，解得a＝，b＝20.
【點評】 解答本題要明確極值點與導函式方程之間的關係：對於三次函式極值點的導數一定為0，但導數為0的點不一定是極值點.本題解得充分利用上述關係，通過建立方程組求得了a和b的值.
【例5】 (08陝西高考)已知函式f(x)＝(c＞0，且c≠1，k∈r）恰有乙個極大值點和乙個極小值點，其中乙個是x＝－c．(ⅰ)求函式f(x)的另乙個極值點；(ⅱ)求函式f(x)的極大值m和極小值m，並求m－m≥1時k的取值範圍．
【分析】 先求導函式f(x)，然後令f(－c)＝0及一元二次方程根與係數的關係可解決第（ⅰ）小題；而解答第（ⅱ）小題須對k與c進行分類討論進行解答.
【解】 (ⅰ)f(x)＝＝，
由題意知f(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，即c＝1＋ （*）
∵c≠0，∴k≠0．由f(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，
由韋達定理知另乙個極值點為x＝1．
(ⅱ)由（*）式得c＝1＋，當c＞1時，k＞0；當0＜c＜1時，k＜－2．
(ⅰ)當k＞0時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內是減函式，在(－c，1)內是增函式．
f(1)＝＝＞0，m＝f(－c)＝＝＜0，
由m－m＝＋≥1及k＞0，解得k≥.
(ⅱ)當k＜－2時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內是增函式，在(－c，1)內是減函式．
∴m＝f(1)＝＞0，m＝＝＜0，而m－m＝－＝1－≥1恆成立．
綜上可知，所求的取值範圍為(－∞，－2)∪，＋∞)．
【點撥】 第(ⅰ)小題解答的關鍵是利用一元二次方程的韋達定理.第(ⅱ)小題的是與極值相關的解決恆成立問題，因此求函式在定義域上的極值是解答的關鍵.
題型四求解函式的最值問題
函式在閉區間上的最值是比較所有極值點與端點的函式值所得結果，因此函式在閉區間[a，b]上的端點函式值一定不是極值，但它可能是函式的最值.同時，函式的極值不一定是函式的最值，最值也不一定是極值.另外求解函式的最值問題，還可以直接結合函式的單調性來求解.
利用導數求解函式最值問題的主要題型：(1)根據函式的解析式求函式的最大值；(2)根據函式在乙個區間上的最值情況求解引數問題.
2023年高考數學複習
2011年高考數學複習資料 專題達標檢測二 一 選擇題 1 點p是函式f x cos x 其中 0 的圖象c的乙個對稱中心，若點p到圖象c的 對稱軸的距離最小值是 則函式f x 的最小正週期是 a b 2 c 3 d 4 解析 函式f x 的對稱中心是，對稱軸為x k z，即 t 4 故選d.答案 ...
2023年高考數學複習
45分鐘三維滾動複習卷 一 考查範圍 第1講 第3講分值 100分 一 選擇題 本大題共7小題，每小題5分，共35分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 設全集u m n 則 um n等於 a b c d 2 若p 所有實數的平方都是正數，則為 a 所有實數的平方都不是正數 b ...
2023年高考數學複習體會
2007年的高考已經結束，我校再創佳績，高考上線率在2006年的基礎上整整又提高了8個百分點，上線率為92.1 其中吳紫娜 佐玉姣同學分別以643 642分分別成為沾益縣文科第 一 以教師的教學風格及人格魅力吸引學生。教師如果能得到學生的信任與欣賞，教育與教學就等於成功了一半，記得在第一次班會上，我...