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高考數學壓軸題系列訓練含答案及解析詳解五
1．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左、右焦點分別是f1（－c，0）、f2（c，0），q是橢圓外的動點，滿足點p是線段f1q與該橢圓的交點，點t**段f2q上，並且滿足
（ⅰ）設為點p的橫座標，證明；
（ⅱ）求點t的軌跡c的方程；
（ⅲ）試問：在點t的軌跡c上，是否存在點m，
使△f1mf2的面積s=若存在，求∠f1mf2
的正切值；若不存在，請說明理由.
本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標準方程和有關性質，軌跡的求法和應用，以及綜合運用數學知識解決問題的能力.滿分14分.
（ⅰ）證法一：設點p的座標為
由p在橢圓上，得
由，所以………………………3分
證法二：設點p的座標為記則由
證法三：設點p的座標為橢圓的左準線方程為
由橢圓第二定義得，即
由，所以3分
（ⅱ）解法一：設點t的座標為
當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.
當|時，由，得.
又，所以t為線段f2q的中點.
在△qf1f2中，，所以有
綜上所述，點t的軌跡c的方程是7分
解法二：設點t的座標為當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.
當|時，由，得.
又，所以t為線段f2q的中點.
設點q的座標為（），則
因此由得 ②
將①代入②，可得
綜上所述，點t的軌跡c的方程是
（ⅲ）解法一：c上存在點m（）使s=的充要條件是
由③得，由④得所以，當時，存在點m，使s=；
當時，不存在滿足條件的點m.
當時，，
由，，，得解法二：c上存在點m（）使s=的充要條件是
由④得上式代入③得
於是，當時，存在點m，使s=；
當時，不存在滿足條件的點m.
當時，記，
由知，所以
2．（本小題滿分12分）
函式在區間（0，+∞）內可導，導函式是減函式，且設
是曲線在點（）得的切線方程，並設函式
（ⅰ）用、、表示m；
（ⅱ）證明：當；
（ⅲ）若關於的不等式上恆成立，其中a、b為實數，
求b的取值範圍及a與b所滿足的關係.
本小題考查導數概念的幾何意義，函式極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函式之間的大小關係.考查學生的學習能力、抽象思維能力及綜合運用數學基本關係解決問題的能力.滿分12分
（ⅰ）解2分
（ⅱ）證明：令
因為遞減，所以遞增，因此，當；
當.所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的
最小值為0，因此即6分
（ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.
對任意成立的充要條件是
另一方面，由於滿足前述題設中關於函式的條件，利用（ii）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大於，該切線的方程為
於是的充要條件是10分
綜上，不等式對任意成立的充要條件是
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式②
有解、解不等式②得
因此，③式即為b的取值範圍，①式即為實數在a與b所滿足的關係.…………12分
（ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.
對任意成立的充要條件是
8分 令，於是對任意成立的充要條件是
由當時當時，，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即………………10分
綜上，不等式對任意成立的充要條件是
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即為b的取值範圍，①式即為實數在a與b所滿足的關係.…………12分
3．（本小題滿分12分）
已知數列的首項前項和為，且
（i）證明數列是等比數列；
（ii）令，求函式在點處的導數並比較與的大小.
解：由已知可得兩式相減得
即從而當時所以又所以從而
故總有，又從而即數列是等比數列；
（ii）由（i）知
因為所以
從而==-=
由上-=
=12①
當時，①式=0所以；
當時，①式=-12所以
當時，又所以即①從而
4．(本小題滿分14分)
已知動圓過定點，且與直線相切，其中.
（i）求動圓圓心的軌跡的方程；
（ii）設a、b是軌跡上異於原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恆過定點，並求出該定點的座標.
解：（i）如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為；
（ii）如圖，設，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設其方程為，顯然，將與聯立消去，得由韋達定理知①
（1）當時，即時，所以，所以由①知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恆過定點
（2）當時，由，得==
將①式代入上式整理化簡可得：，所以，
此時，直線的方程可表示為即
所以直線恆過定點
所以由（1）（2）知，當時，直線恆過定點，當時直線恆過定點.
5．（本小題滿分12分）
已知橢圓c1的方程為，雙曲線c2的左、右焦點分別為c1的左、右頂點，而c2的左、右頂點分別是c1的左、右焦點.
（ⅰ）求雙曲線c2的方程；
（ⅱ）若直線與橢圓c1及雙曲線c2都恒有兩個不同的交點，且l與c2的兩個交點a和b滿足（其中o為原點），求k的取值範圍.
解：（ⅰ）設雙曲線c2的方程為，則
故c2的方程為
（ii）將
由直線l與橢圓c1恒有兩個不同的交點得即.
由直線l與雙曲線c2恒有兩個不同的交點a，b得
解此不等式得
③由①、②、③得
故k的取值範圍為
6．（本小題滿分12分）
數列滿足.
（ⅰ）用數學歸納法證明：；
（ⅱ）已知不等式，其中無理數e=2.71828….
（ⅰ）證明：（1）當n=2時，，不等式成立.
（2）假設當時不等式成立，即
那麼. 這就是說，當時不等式成立.
根據（1）、（2）可知：成立.
（ⅱ）證法一：
由遞推公式及（ⅰ）的結論有
兩邊取對數並利用已知不等式得
故上式從1到求和可得
即（ⅱ）證法二：
由數學歸納法易證成立，故
令取對數並利用已知不等式得
上式從2到n求和得
因故成立.
7．（本小題滿分12分）
已知數列
（1）證明
（2）求數列的通項公式an.
解：（1）方法一用數學歸納法證明：
1°當n=1時，
∴，命題正確.
2°假設n=k時有
則而又∴時命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈n時有
方法二：用數學歸納法證明：
1°當n=1時，∴；
2°假設n=k時有成立，
令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設
有：即也即當n=k+1時成立，所以對一切
（2）下面來求數列的通項：所以
,又bn=－1，所以
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1 已知拋物線 橢圓和雙曲線都經過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是座標軸，拋物線的頂點為座標原點.求這三條曲線的方程 已知動直線過點，交拋物線於兩點，是否存在垂直於軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程 若不存在，說明理由.解 設拋物線方程為，將代入方程得 1分 ...
2023年高考數學壓軸題系列訓練含答案及解析詳解二
1.12分 已知常數a 0,n為正整數，f n x x n x a n x 0 是關於x的函式.1 判定函式f n x 的單調性，並證明你的結論.2 對任意n a 證明f n 1 n 1 n 1 fn n 解 1 fn x nx n 1 n x a n 1 n x n 1 x a n 1 a 0 x...
2023年高考數學壓軸題系列訓練含答案及解析
1 本小題滿分14分 如圖，設拋物線的焦點為f，動點p在直線上運動，過p作拋物線c的兩條切線pa pb，且與拋物線c分別相切於a b兩點.1 求 apb的重心g的軌跡方程.2 證明 pfa pfb.解 1 設切點a b座標分別為，切線ap的方程為 切線bp的方程為 解得p點的座標為 所以 apb的重...