1．（本小題滿分14分）
如圖，設拋物線的焦點為f，動點p在直線上運動，過p作拋物線c的兩條切線pa、pb，且與拋物線c分別相切於a、b兩點.
（1）求△apb的重心g的軌跡方程.
（2）證明∠pfa=∠pfb.
解：（1）設切點a、b座標分別為，
∴切線ap的方程為：
切線bp的方程為：
解得p點的座標為：
所以△apb的重心g的座標為，
所以，由點p在直線l上運動，從而得到重心g的軌跡方程為：
（2）方法1：因為
由於p點在拋物線外，則
∴同理有
∴∠afp=∠pfb.
方法2：①當所以p點座標為，則p點到直線af的距離為：
即所以p點到直線bf的距離為：
所以d1=d2，即得∠afp=∠pfb.
②當時，直線af的方程：
直線bf的方程：
所以p點到直線af的距離為：
，同理可得到p點到直線bf的距離，因此由d1=d2，可得到∠afp=∠pfb.
2．（本小題滿分12分）
設a、b是橢圓上的兩點，點n（1，3）是線段ab的中點，線段ab的垂直平分線與橢圓相交於c、d兩點.
（ⅰ）確定的取值範圍，並求直線ab的方程；
（ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得a、b、c、d四點在同乙個圓上？並說明理由.
（此題不要求在答題卡上畫圖）
本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識以及推理運算能力和綜合解決問題的能力.
（ⅰ）解法1：依題意，可設直線ab的方程為，整理得 ①
設是方程①的兩個不同的根，
∴ ②
且由n（1，3）是線段ab的中點，得
解得k=－1，代入②得，的取值範圍是（12，+∞）.
於是，直線ab的方程為
解法2：設則有
依題意，
∵n（1，3）是ab的中點， ∴
又由n（1，3）在橢圓內，∴
∴的取值範圍是（12，+∞）.
直線ab的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（ⅱ）解法1：∵cd垂直平分ab，∴直線cd的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入橢圓方程，整理得
又設cd的中點為是方程③的兩根，
∴於是由弦長公式可得 ④
將直線ab的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得 ⑤
同理可得 ⑥
∵當時，
假設存在》12，使得a、b、c、d四點共圓，則cd必為圓的直徑，點m為圓心.
點m到直線ab的距離為 ⑦
於是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當》12時，a、b、c、d四點勻在以m為圓心，為半徑的圓上.
（注：上述解法中最後一步可按如下解法獲得：）
a、b、c、d共圓△acd為直角三角形，a為直角|an|2=|cn|·|dn|，
即 ⑧
由⑥式知，⑧式左邊
由④和⑦知，⑧式右邊
∴⑧式成立，即a、b、c、d四點共圓.
解法2：由（ⅱ）解法1及λ>12,
∵cd垂直平分ab， ∴直線cd方程為，代入橢圓方程，整理得
③將直線ab的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得
⑤解③和⑤式可得
不妨設∴
計算可得，∴a在以cd為直徑的圓上.
又b為a關於cd的對稱點，∴a、b、c、d四點共圓.
（注：也可用勾股定理證明ac⊥ad）
3．（本小題滿分14分）
已知不等式為大於2的整數，表示不超過的最大整數. 設數列的各項為正，且滿足
（ⅰ）證明
（ⅱ）猜測數列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；
（ⅲ）試確定乙個正整數n，使得當時，對任意b>0，都有
本小題主要考查數列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想.
（ⅰ）證法1：∵當
即 於是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當n≥3時有，
∵證法2：設，首先利用數學歸納法證不等式
（i）當n=3時， 由
知不等式成立.
（ii）假設當n=k（k≥3）時，不等式成立，即
則即當n=k+1時，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（ⅱ）有極限，且
（ⅲ）∵
則有故取n=1024，可使當n>n時，都有
4．如圖，已知橢圓的中心在座標原點，焦點f1，f2在x軸上，長軸a1a2的長為4，左準線l與x軸的交點為m，|ma1|∶|a1f1|＝2∶1．
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)若點p為l上的動點，求∠f1pf2最大值．
本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.
解：(ⅰ)設橢圓方程為，半焦距為，則
(ⅱ)5．已知函式和的圖象關於原點對稱，且．
(ⅰ)求函式的解析式；
(ⅱ)解不等式；
(ⅲ)若在上是增函式，求實數的取值範圍．
本題主要考查函式圖象的對稱、二次函式的基本性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力.滿分14分.
解：(ⅰ)設函式的圖象上任意一點關於原點的對稱點為，則
∵點在函式的圖象上
∴(ⅱ)由
當時，，此時不等式無解.
當時，，解得.
因此，原不等式的解集為.
（ⅲ）①②ⅰ）
ⅱ）6．(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分.
對定義域分別是df、dg的函式y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 當x∈df且x∈dg
規定: 函式h(x)= f(x當x∈df且xdg
g(x) 當xdf且x∈dg
(1) 若函式f(x)=,g(x)=x2,x∈r,寫出函式h(x)的解析式;
(2) 求問題(1)中函式h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常數,且α∈[0,π],請設計乙個定義域為r的函式y=f(x),及乙個α的值,使得h(x)=cos4x,並予以證明.
[解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)
1x=1
(2) 當x≠1時, h(x)= =x-1++2,
若x>1時, 則h(x)≥4,其中等號當x=2時成立
若x<1時, 則h(x)≤ 0,其中等號當x=0時成立
∴函式h(x)的值域是(-∞,0] ∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
則g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
於是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x, α=,
g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,
於是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.
7．(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分.
在直角座標平面中,已知點p1(1,2),p2(2,22),┄,pn(n,2n),其中n是正整數.對平面上任一點a0,記a1為a0關於點p1的對稱點, a2為a1關於點p2的對稱點, ┄, an為an-1關於點pn的對稱點.
(1)求向量的座標;
(2)當點a0在曲線c上移動時, 點a2的軌跡是函式y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為週期的週期函式,且當x∈(0,3]時,f(x)=lgx.求以曲線c為圖象的函式在(1,4]上的解析式;
(3)對任意偶數n,用n表示向量的座標.
[解](1)設點a0(x,y), a0為p1關於點的對稱點a0的座標為(2-x,4-y),
a1為p2關於點的對稱點a2的座標為(2+x,4+y),
∴=.(2) ∵=,
∴f(x)的圖象由曲線c向右平移2個單位,再向上平移4個單位得到.
因此, 曲線c是函式y=g(x)的圖象,其中g(x)是以3為週期的週期函式,且當x∈(-2,1]時,g(x)=lg(x+2)-4.於是,當x∈(1,4]時,g(x)=lg(x-1)-4.
另解設點a0(x,y), a2(x2,y2),於是x2-x=2,y2-y=4,
若3< x2≤6,則0< x2-3≤3,於是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).
當1< x≤4時, 則3< x2≤6,y+4=lg(x-1).
∴當x∈(1,4]時,g(x)=lg(x-1)-4.
(3) =,
由於,得
=2()=2(++┄+)=2=
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