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1．（本小題滿分14分）
已知f(x)=(x∈r)在區間[－1，1]上是增函式.
（ⅰ）求實數a的值組成的集合a；
（ⅱ）設關於x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈a及t∈[－1，1]恆成立？
若存在，求m的取值範圍；若不存在，請說明理由.
本小題主要考查函式的單調性，導數的應用和不等式等有關知識，考查數形結合及分類討論思想和靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
解：（ⅰ）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函式，
∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恆成立，
即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恆成立
設(x)=x2－ax－2，
方法一：
1)=1－a－2≤0，
1≤a≤1，
1)=1+a－2≤0.
∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函式，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0
∴a=. 方法二：
≥0<0，
或1)=1+a－2≤01)=1－a－2≤0
0≤a≤1 或 －1≤a≤0
－1≤a≤1.
∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函式，且只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=-1時，f＇(1)=0
∴a=.
（ⅱ）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實根，
x1+x2=a，
從而|x1－x2|==.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈a及t∈[－1，1]恆成立，
當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恆成立，
即m2+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恆成立
設g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
②g(1)=m2+m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈a及t∈[－1，1]恆成立，其取值範圍是.
方法二：
當m=0時，②顯然不成立；
當m≠0時，
m>0m<0，
或 g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈a及t∈[-1，1]恆成立，其取值範圍是.
2．（本小題滿分12分）
如圖，p是拋物線c：y=x2上一點，直線l過點p且與拋物線c交於另一點q.
（ⅰ）若直線l與過點p的切線垂直，求線段pq中點m的軌跡方程；
（ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交於點s，與y軸交於點t，試求的取值範圍.
本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.
解：（ⅰ）設p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(x0，y0)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2
得y＇=x.
∴過點p的切線的斜率k切= x1，
∴直線l的斜率kl=－=-，
∴直線l的方程為y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
聯立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.
∵m是pq的中點
x0==-，
∴y0=x12－(x0－x1).
消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴pq中點m的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，
得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
則x0==kl=-，
∴x1=－，
將上式代入②並整理，得
y0=x02++1(x0≠0)，
∴pq中點m的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).
（ⅱ）設直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則t(0，b).
分別過p、q作pp＇⊥x軸，qq＇⊥y軸，垂足分別為p＇、q＇，則
.y=x2
由消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③
y=kx+b
y1+y2=2(k2+b)，
則y1y2=b2.
方法一：
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正數，
∴的取值範圍是（2，+）.
方法二：
∴=|b|=|b|.
當b>0時， =b==+2>2；
當b<0時， =－b=.
又由方程③有兩個相異實根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，
於是k2+2b>0，即k2>－2b.
所以》=2.
∵當b>0時，可取一切正數，
∴的取值範圍是（2，+）.
方法三：
由p、q、t三點共線得ktq=ktp，
即=.則x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
於是b==－x1x2.
∴==+=+≥2.
∵可取一切不等於1的正數，
∴的取值範圍是（2，+）.
3．（本小題滿分12分）
某突發事件，在不採取任何預防措施的情況下發生的概率為0.3，一旦發生，將造成400萬元的損失. 現有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供採用.
單獨採用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，採用相應預防措施後此突發事件不發生的概率為0.9和0.85.
若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨採用、聯合採用或不採用，請確定預防方案使總費用最少.
（總費用=採取預防措施的費用+發生突發事件損失的期望值.）
本小題考查概率的基本知識和數學期望概念及應用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分.
解：①不採取預防措施時，總費用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；
②若單獨採取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發生突發事件的概率為
1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）
③若單獨採取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發生突發事件的概率為1－0.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；
④若聯合採取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為45+30=75（萬元），發生突發事件的概率為（1－0.9）（1－0.85）=0.
015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）.
綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇聯合採取甲、乙兩種預防措施，可使總費用最少.
4．（本小題滿分14分）
已知（i）已知數列極限存在且大於零，求（將a用a表示）；
（ii）設
（iii）若都成立，求a的取值範圍.
本小題主要考查數列、數列極限的概念和數學歸納法，考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分.
解：（i）由
（ii）
（iii）
（i）當n=1時結論成立（已驗證）.
（ii）假設當
故只須證明
即n=k+1時結論成立.
根據（i）和（ii）可知結論對一切正整數都成立.
故5．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分10分）
已知，函式.
(ⅰ)當時，求使成立的的集合；
(ⅱ)求函式在區間上的最小值.
本小題主要考查運用導數研究函式性質的方法，考查分類討論的數學思想和分析推理能力. 滿分14分.
解：（ⅰ）由題意，.
當時，，解得或；
當時，，解得.
綜上，所求解集為.
（ⅱ）設此最小值為.
①當時，在區間上，.
因為則在區間上是增函式，所以.
②當時，在區間上，，由知
③當時，在區間上，.
.若，在區間內，從而為區間上的增函式，
由此得若，則.
當時，，從而為區間上的增函式；
當時，，從而為區間上的減函式.
因此，當時，或.
當時，，故；
當時，，故.
綜上所述，所求函式的最小值
6．（本小題滿分14分，第一小問滿分2分，第
二、第三小問滿分各6分）
設數列的前項和為，已知，且
，其中為常數.
(ⅰ)求與的值；
(ⅱ)證明：數列為等差數列；
(ⅲ)證明：不等式對任何正整數都成立.
本小題主要考查等差數列的有關知識、不等式的證明方法，考查思維能力、運算能力.
解：（ⅰ）由已知，得，，.
由，知即
解得 ，.
（ⅱ）方法1
由（ⅰ），得
所以②-①，得
所以④-③，得 .
因為所以
又因為 ，所以即
所以數列為等差數列.
方法2由已知，得，
又，且，
所以數列是唯一確定的，因而數列是唯一確定的.
設，則數列為等差數列，前項和.
於是 ，
由唯一性得 ，即數列為等差數列.
（ⅲ）由（ⅱ）可知，.
要證 ，
只要證 .
因為 ，，
故只要證 ，
即只要證 .
因為，所以命題得證.
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