1. 甲乙兩公司生產同一種新產品，經測算，對於函式，，及任意的，當甲公司投入萬元作宣傳時，乙公司投入的宣傳費若小於萬元，則乙公司有失敗的危險，否則無失敗的危險；當乙公司投入萬元作宣傳時，甲公司投入的宣傳費若小於萬元，則甲公司有失敗的危險，否則無失敗的危險. 設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，建立如圖直角座標系，試回答以下問題：
(1)請解釋；
(2)甲、乙兩公司在均無失敗危險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問此時各應投入多少宣傳費？
(3)若甲、乙分別在上述策略下，為確保無失敗的危險，根據對方所投入的宣傳費，按最少投入費用原則，投入自己的宣傳費：若甲先投入萬元，乙在上述策略下，投入最少費用；而甲根據乙的情況，調整宣傳費為；同樣，乙再根據甲的情況，調整宣傳費為如此得當甲調整宣傳費為時，乙調整宣傳費為；試問是否存在，的值，若存在寫出此極限值（不必證明），若不存在，說明理由.
2. 已知三次函式在y軸上的截距是2，且在上單調遞增，在（－1，2）上單調遞減.
(ⅰ)求函式f (x)的解析式；
(ⅱ)若函式，求的單調區間.
3. 已知函式，函式的圖象與的圖象關於點中心對稱。
（1）求函式的解析式；
（2）如果，，試求出使成立的取值範圍；
（3）是否存在區間，使對於區間內的任意實數，只要，且時，都有恆成立？
4．已知函式：
（ⅰ）證明：f(x)+2+f(2a－x)=0對定義域內的所有x都成立.
（ⅱ）當f(x)的定義域為[a+,a+1]時，求證：f(x)的值域為[－3，－2]；
（ⅲ）設函式g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .
5. 設是定義在上的函式，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函式，為峰點，包含峰點的區間為含峰區間. 對任意的上的單峰函式，下面研究縮短其含峰區間長度的方法.
（1）證明：對任意的，，若，則為含峰區間；若，則為含峰區間；
（2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區間的長度不大於；
6. 設關於的方程的兩根分別為、，函式
（1）證明在區間上是增函式；
（2）當為何值時，在區間上的最大值與最小值之差最小
7. 已知函式在處取得的極小值是.
(1)求的單調遞增區間；
(2)若時，有恆成立，求實數的取值範圍.
8. 已知二次函式設方程f(x)＝x有兩個實數根x1、x2.
(ⅰ)如果，設函式f(x)的對稱軸為x＝x0,求證x0>—1;
(ⅱ)如果，且f(x)＝x的兩實根相差為2，求實數b 的取值範圍.
9. 函式的定義域為r，並滿足以下條件：①對任意，有；
②對任意、，有；③ 則
（1）求的值4分
（2）求證：在r上是單調增函式5分）
（3）若，求證：
10. 已知函式在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減；
（1）求a的值；
（2）求證：x=1是該函式的一條對稱軸；
（3）是否存在實數b，使函式的圖象與函式f(x)的圖象恰好有兩個交點？若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.
11. 定義在區間（0，）上的函f(x)滿足：（1）f(x)不恒為零；（2）對任何實數x、q,都有.
（1）求證：方程f(x)=0有且只有乙個實根；
（2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差數列，求證：；
（3）（本小題只理科做）若f(x) 單調遞增，且m>n>0時，有，求證：
12. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的產值函式r (x)=3700x + 45x2 – 10x3(單位：
萬元), 成本函式為c (x) = 460x + 5000 (單位：萬元). 又在經濟學中，函式f(x)的邊際函式mf (x)定義為:
mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：
利潤 = 產值 – 成本）
(1) 利潤函式p(x) 及邊際利潤函式mp(x);
(2) 年造船量安排多少艘時, 可使公司造船的年利潤最大?
(3) 邊際利潤函式mp(x)的單調遞減區間, 並說明單調遞減在本題中的實際意義是什麼？
13. 已知函式（且）．
(1) 試就實數的不同取值，寫出該函式的單調遞增區間；
(2) 已知當時，函式在上單調遞減，在上單調遞增，求的值並寫出函式的解析式；
(3) （理）記(2)中的函式的影象為曲線，試問是否存在經過原點的直線，使得為曲線的對稱軸？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．
(文) 記(2)中的函式的影象為曲線，試問曲線是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的座標並加以證明；若不是，請說明理由．
14. 已知函式和的圖象在處的切線互相平行.
(ⅰ) 求的值；
（ⅱ）設，當時，恆成立，求的取值範圍.
15. 設函式定義在上，對任意的，恒有，且當時，。試解決以下問題：
（1）求的值，並判斷的單調性；
（2）設集合，若，求實數的取值範圍；
（3）若，滿足，求證：
16. （理科）二次函式f(x)=
（i）若方程f(x)=0無實數根，求證：b>0；
（ii）若方程f(x)=0有兩實數根，且兩實根是相鄰的兩個整數，求證：f(－a)=；
（iii）若方程f(x)=0有兩個非整數實根，且這兩實數根在相鄰兩整數之間，試證明存在整數k，使得.
(文科)已知函式f(x)=，其中
（i）若b>2a,且 f(sinx)(x∈r)的最大值為2，最小值為－4，試求函式f(x)的最小值；
（ii）若對任意實數x，不等式恆成立,且存在成立，求c的值。
17. 定義在（-1，1）上的函式f(x)滿足：對任意x、y (-1,1)都有。
（i）求證：函式f(x)是奇函式；
（ii）如果當時，有f(x)>0，判斷f(x)在(-1,1)上的單調性，並加以證明；
（iii）設-118. 設是定義域在上的奇函式，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小於零.
（l）求證在上是減函式；
（ll）如果，的定義域的交集為空集，求實數的取值範圍；
（lll）證明若，則，存在公共的定義域，並求這個公共的空義域.
19. 已知函式f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈n*，b∈n，c∈z。
（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈r）的最大值為2，最小值為－4，試求函式f（x）的最小值；
（2）若對任意實數x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恆成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x02＋1）成立，求c的值。
20. （理）已知
（1）討論的單調性；
（2）證明：其中無理數.
（文）設函式，其圖象在點處的切線的斜率分別為.
（1）求證：；
（2）若函式的遞增區間為，求的取值範圍.
21.設函式
（1）求函式f(x)的單調區間，並求函式f(x)的極大值和極小值；
（2）當x∈[a+1, a+2]時，不等，求a的取值範圍.
22. 已知函式，函式.
（1）當時，求函式f(x)的最小值；
（2）設函式h(x)=(1－x)f(x)+16，試根據m的取值分析函式h(x)的圖象與函式g(x)的圖象交點的個數.
23. 已知二次函式為常數）；.若直線l1、l2與函式f（x）的圖象以及l1，y軸與函式f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（ⅰ）求a、b、c的值；
（ⅱ）求陰影面積s關於t的函式s（t）的解析式；
（ⅲ）若問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
24. 已知，點a(s,f(s)), b(t,f(t))
(i) 若,求函式的單調遞增區間；
(ii)若函式的導函式滿足：當|x|≤1時，有||≤恆成立，求函式的解析表示式；
(iii)若025. 已知函式
(1)設,當m≥時,求g(x)在上的最大值；
(2)若上是單調減函式，求實數m的取值範圍.
答案：1.解：(1)表示當甲公司不投入宣傳費時,乙公司要迴避失敗風險,至少要投入=8萬元2分)
表示當乙公司不投入宣傳費時, 甲公司要迴避失敗風險,至少要投入 =12萬元4分)
(2) 解方程組
6分)得: x = 17, y = 25 ……………(9分)
故甲公司至少投入17萬元,
乙公司至少投入25萬元. …… (11分)
(3) 經觀察,
顯見.故點m (17, 25) 是雙方在宣傳投入上保
證自己不失敗的乙個平衡點. ………(16分)
2.解：(ⅰ)∵在y軸上的截距是2，∴f(0)=2,∴c=2. 1分
又在上單調遞增，（－1，2）上單調遞減，
有兩個根為－1，2，
，…………5分
(ⅱ)，
6分7分
當m≤－2時，－m≥2，定義域：，
恆成立，上單增8分
當時，，定義域：
恆成立，上單增9分
當m >－1時，－m <1，定義域：
由得x >1，由得x <1.
故在（1，2），（2，+∞）上單增；在上單減11分
綜上所述，當m≤－2時，h(x)在（－m,+∞）上單增；
當時,上單增；
當m >－1時，在（1，2），（2，+∞）上單增；在（－m，1）單減.…12分
3.解：（16分）
（2）由解得
即解得12分）
（1） 由，
又，當時，，，
∴對於時，，命題成立。………………（14分）
以下用數學歸納法證明對，且時，都有成立
假設時命題成立，即，
那麼即時，命題也成立。
∴存在滿足條件的區間。
4.解：（ⅰ）證明：
∴結論成立4分
高考數學壓軸題突破訓練 函式 含詳解
1.甲乙兩公司生產同一種新產品，經測算，對於函式，及任意的，當甲公司投入萬元作宣傳時，乙公司投入的宣傳費若小於萬元，則乙公司有失敗的危險，否則無失敗的危險 當乙公司投入萬元作宣傳時，甲公司投入的宣傳費若小於萬元，則甲公司有失敗的危險，否則無失敗的危險.設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元...
2023年高考數學壓軸題突破訓練
1 設函式，其中，記函式的最大值與最小值的差為。i 求函式的解析式 ii 畫出函式的圖象並指出的最小值。2 已知函式,數列滿足,數列滿足,求證 若則當n 2時,3 已知定義在r上的函式f x 同時滿足 1 r，a為常數 2 3 當時，2 求 函式的解析式 常數a的取值範圍 4 設上的兩點，滿足，橢圓...
高考數學壓軸題系列訓練含答案及解析詳解五
2009屆高考數學壓軸題系列訓練含答案及解析詳解五 1 本小題滿分14分 已知橢圓的左 右焦點分別是f1 c，0 f2 c，0 q是橢圓外的動點，滿足點p是線段f1q與該橢圓的交點，點t 段f2q上，並且滿足 設為點p的橫座標，證明 求點t的軌跡c的方程 試問 在點t的軌跡c上，是否存在點m，使 f...