專題四不等式、推理與證明
第1講不等式
1.已知函式f(x)＝，則不等式f(x)≥x2的解集為( )
a．[－1,1] b．[－2,2]
c．[－2,1d．[－1,2]
2．已知a<0，b<－1，則下列不等式成立的是( )
a．a>>b. > >a
c. > >ad. >a>
3．設集合a＝，b＝，則a∩b＝( )
a．(－3，－2b．(－3，－2]∪[0，]
c．(－∞，－3d．(－∞，－3)∪[，＋∞)
4．(2023年高考安徽卷)設x，y滿足約束條件則目標函式z＝x＋y的最大值是( )
a．3b．4
c．6d．8
5．(2023年高考四川卷)設a>b>0，則a2＋＋的最小值是( )
a．1b．2
c．3d．4
6．(2023年萊州第一中學質檢)設x，y∈r，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，則＋的最大值為( )
a．2b.
c．1d.
7．已知函式y＝f(x)的圖象如圖所示，則不等式f()>0的解集為________．
8．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋對任意的實數x恆成立，則實數a的取值範圍是________．
9．(2023年高考安徽卷)設x，y滿足約束條件
若目標函式z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值為8，則a＋b的最小值為________．
10．若a∈[1,3]時，不等式ax2＋(a－2)x－2>0恆成立，求實數x的取值範圍．
11.設集合a＝，b＝．
(1)求a∩z；
(2)若ab，求m的取值範圍．
12．通過研究學生的學習行為，專家發現，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨後學生的注意力開始分散，設f(t)表示學生注意力隨時間t(分鐘)的變化規律，f(t)越大，表明學生注意力越集中，經過實驗分析得知：
f(t)＝
(1)講課開始後多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？
(2)講課開始後5分鐘與講課開始後25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？
(3)一道數學難題，需要講解24分鐘，並且要求學生的注意力至少達到180，那麼經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？
第2講推理與證明
1．對a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2 (大前提)，x＋≥2 (小前提)，所以x＋≥2(結論)．以上推理過程中的錯誤為( )
a．大前提b．小前提
c．結論d．無錯誤
2．用反證法證明命題：「a，b∈n，ab可被5整除，那麼a、b中至少有乙個能被5整除」時，假設的內容應為( )
都能被5整除b．a、b都不能被5整除
c．a、b不都能被5整除d．a不能被5整除
3．(2023年天津一中模擬)若a、b、c是不全相等的正數，給出下列判斷：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b與a③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．
其中判斷正確的個數是( )
a．0b．1
c．2d．3
4．已知數列的前n項和sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an＝( )
ab.cd.
5．有乙個奇數列1,3,5,7,9，…，現進行如下分組：第1組含有乙個數；第二組含兩個數；第三組含三個數；…每組內各數之和與其組的編號數n的關係是( )
a．等於n2 b．等於n3
c．等於n4 d．等於n(n＋1)
6．(2023年瀋陽二中質檢)模擬平面內正三角形的「三邊相等，三內角相等」的性質，可推知正四面體的下列一些性質，你認為比較恰當的是( )
①各稜長相等，同一頂點上的任兩條稜的夾角相等 ②各個面是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角相等 ③各個面都是全等的正三角形，同一頂點的任何兩條稜的夾角都相等
ab．①②
cd．③
7．如果a＋b>a＋b，則a、b應滿足的條件是________．
8．觀察下列式子：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
由上可得出一般的結論為
9．(2023年高考浙江卷)設等差數列的前n項和為sn，則s4，s8－s4，s12－s8，s16－s12成等差數列．模擬以上結論有：設等比數列的前n項積為tn，則t4成等比數列．
10．已知f(x)(x∈r)恆不為0，對任意x1，x2∈r，等式f(x1)＋f(x2)＝2f()f()恆成立．
求證：f(x)是偶函式．
11.(2023年河北八校聯考)已知a>0，b>0，且a＋b>2.
求證：、中至少有乙個小於2.
12．找出三角形和空間四面體的相似性質，並用三角形的下列性質模擬出四面體的有關性質．
(1)三角形的兩邊之和大於第三邊．
(2)三角形的中位線等於第三邊的一半，並且平行於第三邊．
(3)三角形的面積為s＝(a＋b＋c)r(r為內切圓半徑)．
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