第1講幾何證明選講
1. (2014·常州市期末考試)如圖，圓o是△abc的外接圓，延長bc邊上的高ad交圓o於點e，h為△abc的垂心．求證：dh＝de.
證明鏈結ce，ch.因為h為△abc的垂心，所以∠ecd＝∠bad＝90°－∠abc，
∠hcd＝90°－∠abc，所以∠ecd＝∠hcd.
又因為cd⊥he，cd為公共邊，
所以△hdc≌△edc，所以dh＝de.
2. (2013·常州一中期中)如圖，從圓o外一點p作圓o的兩條切線，切點分別為a、b，ab與op交於點m，設cd為過點m且不過圓心o的一條弦，求證：o、c、p、d四點共圓．
證明 ∵pa、pb為圓o的兩條切線，
∴op垂直平分弦ab，∴am＝bm.
在rt△oap中，om·mp＝am2，
在圓o中，am·bm＝cm·dm，
∴om·mp＝cm·dm，
又弦cd不過圓心o，
∴o、c、p、d四點共圓．
3. (2012·鎮江調研)如圖，△abc的角平分線ad的延長線交它的外接圓於點e.
(1)證明：△abe∽△adc；
(2)若△abc的面積s＝ad·ae，
求∠bac的大小．
(1)證明由已知條件，可得∠bae＝∠cad.
因為∠aeb與∠acb是同弧所對的圓周角，
所以∠aeb＝∠acd.故△abe∽△adc.
(2)解因為△abe∽△adc，所以＝，
即ab·ac＝ad·ae.
又s＝ab·acsin∠bac，且s＝ad·ae，
故ab·acsin∠bac＝ad·ae，則sin∠bac＝1.
又∠bac為△abc的內角，所以∠bac＝90°.
4. (2011·江蘇卷)如圖，圓o1與o2內切於點a，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓o1的弦ab交圓o2於點c(o1不在ab上)．
求證：ab∶ac為定值．
證明如圖，連線ao1，並延長分別交兩圓於點e和點d，連線bd、ce.
∵圓o1與圓o2內切於點a，
∴點o2在ad上，故ad、ae分別為圓o1，圓o2的直徑．
從而∠abd＝∠ace＝90°.
∴bd∥ce，於是＝＝＝，
∴ab∶ac為定值．
5. 如圖，△abc是直角三角形，∠acb＝90°，cd⊥ab於d，e是ac的中點，ed的延長線與cb的延長線交於點f.
求證：fd2＝fb·fc.
證明 ∵e是rt△acd斜邊ac的中點，
∴de＝ea，∴∠a＝∠2.
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠a.
∵∠fdc＝∠cdb＋∠1＝90°＋∠1，
∠fbd＝∠acb＋∠a＝90°＋∠a，∴∠fdc＝∠fbd.
又∵∠f是公共角，∴△fbd∽△fdc，∴＝，
∴fd2＝fb·fc.
6. (2012·蘇州市調研(一))如圖，在△abc中，cm是∠acb的平分線，△amc的外接圓o交bc於點n.若ac＝ab，求證：bn＝2am.
證明鏈結mn.因為cm是∠acb的平分線，
所以∠acm＝∠ncm，所以am＝mn.
因為∠b＝∠b，∠bmn＝∠a，
所以△bmn∽△bca，所以＝＝2，
即bn＝2mn＝2am.
7. 如圖，梯形abcd內接於⊙o，ad∥bc，過點c作⊙o的切線，交bd的延長線於點p，交ad的延長線於點e.
(1)求證：ab2＝de·bc；
(2)若bd＝9，ab＝6，bc＝9，求切線pc的長．
(1)證明 ∵ad∥bc，∴.∴ab＝cd，
∠edc＝∠bcd.又pc與⊙o相切，∴∠ecd＝∠dbc.
∴△cde∽△bcd.∴＝.
∴cd2＝de·bc，即ab2＝de·bc.
(2)解由(1)知，de＝＝＝4，
∵ad∥bc，∴△pde∽△pbc，
∴＝＝.又∵pb－pd＝9，∴pd＝，pb＝.
∴pc2＝pd·pb＝·＝.∴pc＝.
8. 如圖所示，已知⊙o1和⊙o2相交於a，b兩點，過a點作⊙o1的切線交⊙o2於點c，過點b作兩圓的割線，分別交⊙o1，⊙o2於點d，e，de與ac相交於點p.
(1)求證：ad∥ec；
(2)若ad是⊙o2的切線，且pa＝6，pc＝2，bd＝9，求ad的長．
(1)證明
連線ab，如圖所示
∵ac是⊙o1的切線，
∴∠bac＝∠d.
又∵∠bac＝∠e，
∴∠d＝∠e.∴ad∥ec.
(2)解設bp＝x，pe＝y，∵pa＝6，pc＝2，
∴xy＝12.①
∵根據(1)，可得△adp∽△cep，
∴＝，即＝，②
由①②，可得或(負值捨去)，
∴de＝9＋x＋y＝16.∵ad是⊙o2的切線，
∴ad2＝db·de＝9×16.∴ad＝12.
9. (2014·泰州調研一)已知ad是△abc的外角∠eac的平分線，交bc的延長線於點d，延長da交△abc的外接圓於點f，連線fb、fc.
(1)求證：fb＝fc；
(2)若ab是△abc外接圓的直徑，∠eac＝120°，bc＝3，求ad的長．
(1)證明 ∵ad平分∠eac，
∴∠ead＝∠dac.
∵四邊形afbc內接於圓，
∴∠dac＝∠fbc.
∵∠ead＝∠fab＝∠fcb，
∴∠fbc＝∠fcb，∴fb＝fc.
(2)解 ∵ab是圓的直徑，∴∠acd＝90°.
∵∠eac＝120°，∠dac＝∠eac＝60°，∠d＝30°.
在rt△acb中，∵bc＝3，∠bac＝60°，∴ac＝3，
又在rt△acd中，∠d＝30°，ac＝3，∴ad＝6.
10. (2013·宿遷聯考)如圖，⊙o的半徑ob垂直於直徑ac，m為ao上一點，bm的延長線交⊙o於n，過點n的切線交ca的延長線於p.
(1)求證：pm2＝pa·pc；
(2)若⊙o的半徑為2，oa＝om，求mn的長．
(1)證明鏈結on.因為pn切⊙o於n，
所以∠onp＝90°.
所以∠onb＋∠bnp＝90°.
因為ob＝on，所以∠obn＝∠onb.
因為bo⊥ac於o，所以∠obn＋∠bmo＝90°.
所以∠bnp＝∠bmo＝∠pmn.所以pm＝pn.
所以pm2＝pn2＝pa·pc.
(2)解 om＝2，bo＝2，bm＝4.
因為bm·mn＝cm·ma＝(2＋2)(2－2)＝8，
所以mn＝2.
11. (2013·新課標全國ⅰ卷)如圖，直線ab為圓的切線，切點為b，點c在圓上，∠abc的角平分線be交圓於點e，db垂直be交圓於點d.
(1)證明：db＝dc；
(2)設圓的半徑為1，bc＝，延長ce交ab於點f，求△bcf外接圓的半徑．
(1)證明如圖，連線de，交bc於點g.
由弦切角定理，得∠abe＝∠bce，
而∠abe＝∠cbe，故∠cbe＝∠bce，所以be＝ce.
又因為db⊥be，所以de為圓的直徑，∠dce＝90°.
由勾股定理可得db＝dc.
(2)解由(1)知，∠cde＝∠bde，db＝dc，
故dg是bc邊的中垂線，所以bg＝.
設de的中點為o，連線bo，則∠bog＝60°，從而∠abe＝∠bce＝∠cbe＝30°，
所以cf⊥bf，故rt△bcf外接圓的半徑為.
12. (2013·南京模擬)如圖，設ab為⊙o的任一條不與直線l垂直的直徑，點p是⊙o與l的公共點，ac⊥l，bd⊥l，垂足分別為c、d，且pc＝pd，求證：
(1)l是⊙o的切線；
(2)pb平分∠abd.
證明如圖(1)鏈結op，
因為ac⊥l，bd⊥l，所以ac∥bd.
又oa＝ob，pc＝pd，
所以op∥bd.從而op⊥l.
因為點p在⊙o上，所以l是⊙o的切線．
(2)鏈結ap，因為l是⊙o的切線，
所以∠bpd＝∠bap.
又∠bpd＋∠pbd＝90°，∠bap＋∠pba＝90°，
所以∠pba＝∠pbd，即pb平分∠abd.
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