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來稿日期：2012-10-15
苗勇(江蘇省睢寧縣古邳中學 ，221241 )本文的例1至例4分別是文[1]的例1至例4，文[1]對這類輪換對稱不等式的證明的方法是先猜想不等式等號成立的條件是，然後利用基本不等式進行構造證明，方法巧妙，但操作較為麻煩，筆者發現這類不等式用柯西不等式的變式很容易證明.下面對這4道例題用柯西不等式的變式給予證明，並補充幾道例題.
柯西不等式的變式：設，則 ，當時等號成立.
例1(《數學通報》問題1724) 已知，，求證：
證明：易證，
由柯西不等式的變式得，
例2(《數學通報》問題1714) 已知，，證明：由柯西不等式的變式得，
而由常見不等式
結合知，
，於是，
所以，.
例3(《數學通報》問題1659) 已知三個正數的和為6，求的最小值.
解：結合，易證，時等號成立.
由柯西不等式的變式得
(時等號成立 ).
故，所以的最小值為.
例4(《數學通報》問題1659) 已知為滿足的正數，求證：
證明：由柯西不等式的變式得，而即
所以.例5 已知為正數，求證：.
證明：易證
由柯西不等式的變式得
.例6 設，且，求證：.
證明：由柯西不等式的變式得
，所以成立.
例7 設，且，求證：.
證明：結合，由柯西不等式的變式得
[1]衛福山.一類輪換對稱不等式的證法.數學通訊[j].2010.9(下半月).
柯西不等式
關於柯西不等式的應用和證明總結 柯西不等式簡介 所謂柯西不等式是指 設ai,bi r i 1,2 n,則 a1b1 a2b2 anbn 2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 等號當且僅當 時成立。柯西不等式證法 柯西不等式的一般證法有以下幾種 1 柯西不等式的形式化寫法就是 記兩列數分...
柯西不等式及證明
一.二維形式 等號成立條件 當且僅當 即 時，取 擴充套件 等號成立條件 當且僅當，時取等號。二 其他形式 向量形式 證明 推廣 三角形式 等號成立條件 當且僅當 即 時，取 擴充套件形式 等號成立條件 或 中有乙個為零。上述不等式等同於概述圖中的不等式。推廣形式 此推廣形式又稱卡爾松不等式，其表述...
柯西不等式的證明及變形
柯西 cauchy 不等式 等號當且僅當或時成立 k為常數，現將它的證明介紹如下 證明1 構造二次函式 恆成立 即當且僅當即時等號成立 證明 2 數學歸納法 1 當時左式 右式 顯然左式 右式 當時，右式右式 僅當即即時等號成立 故時不等式成立 2 假設時，不等式成立 即當，k為常數，或時等號成立設...