一．已知不等式的關係，求目標式的取值範圍
例1：（2010遼寧理14）已知的取值範圍變式1：已知且，求的範圍。
變式2：（2010江蘇12）設為實數，滿足則的最大值是二．利用均值不等式求函式的最值
.利用均值不等式求最值要注意條件的驗證
例1：（1）若，求函式的最小值
（2）若，求函式的值域
變式1.（1）求函式的值域；
（2）求函式的最小值；
（3）求函式的最小值。
.通過代數變換湊配成使用均值不等式的形式
例1:已知，求函式的最大值。
變式1：求函式的最小值。
變式2：求最大值。
.「1」的變換
例1：已知，且，求的最小值。
變式1：（2011重慶理7）已知，則的最小值是 。
變式2：函式的影象恆過定點，若點在直線
上，則的最小值為 。
變式3：，證明：。
變式4：已知求的最小值。
.注意轉化思想和方程消元思想在求二元函式最值中的應用例1：若正數滿足，則：
（1）的取值範圍是
（2）的取值範圍是
變式1：（2010重慶理7）已知滿足，則的最小值是 。
.靈活選擇和運用均值不等式的變形形式
例1：設，，則的最大值為
變式1：已知，求的最小值。
.合理配組，反覆應用均值不等式
例1：設，則的最小值是
變式1：若是正數，則的最小值是
3．利用均值不等式證明不等式
例1：（1）設,求證：。
（2），求證：。
（3）已知,且，求證：
變式1：若，且。
求證：。
變式2：證明：若，，則
4．不等式的證明
.比較法（插值法、比值法）
例1：已知均為正實數，且，求證：
變式1：已知,且,求證：。
.利用函式的單調性
例1：已知，求證：。
變式1：證明：當。
.綜合法（由因導果）與分析法（由果索因）
例1：證明：。
變式1：設，求證：。
例2：設,求證：。
變式1：若，且，求證：。
.反證法
例1：已知為不小於1的正數，求證：不可能同時大於。
變式1：已知，，求證：。
.放縮法
例1：已知正數滿足，求證：。
變式1：證明：
例2：求證。
例3：設,且滿足，問取何值時，以為邊可構成三角形，並判斷該三角形的形狀。
例4：設實數滿足，求證：
變式1：設，，求證：。
..構造法
例1：設,，若，求證：。
例2：已知為三角形的三邊長，求證：。
變式1：已知，，求證： 。
例3：證明：當時，有。
例4：設，求證：。
均值不等式的證明
平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多方法，這裡，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節和討論，如數學歸納法 變數替換 恒等變形和分析綜...
均值不等式
基本不等式 知識要點 1 重要不等式 若，則，當且僅當時，取 2 算術平均數與幾何平均數 設，則把 記作正數 的算術平均數，把 記作正數 的幾何平均數。3 基本 均值 不等式 算術平均數大於或等於幾何平均數 設，則請給出證明 注意 對上述第1點和第3點的補充說明 1 和成立的條件是不同的，前者要求 ...
均值不等式
一 均值不等式的含義及成立的條件 一 原型 二 均值不等式 任意個正數的算術平均值不小於這個正數的幾何平均值 兩個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 三個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 等號僅當 d時成立 三 均值不等式常見的變形 3 幾個常用不等式 如果，則 可以推廣到n的情形 均值不...