§3 平均值不等式
知識精要
⒈四個定理及推廣：
①定理１：對任意實數，有，（此式當且僅當時取＂＝＂號）．
②定理２：對任意兩個正數，有，（此式當且僅當時取＂＝＂號）．
③定理３：對任意三個正數，有（此式當且僅當時取＂＝＂號）．
④定理４：對任意三個正數，有（此式當且僅當時取＂＝＂號）．
⑤推廣：一般地，對ｎ個正數，有（此式當且僅當時取＂＝＂號）．
⒉更深層的理解定理1
①定理1中的a，b代表的是實數，a，b可以用數字或更複雜的變數替換．如，定理２，就是將定理１中的＂a，b＂分別用＂＂代換得到的．因此，要理解：應用原定理就是對原定理作不同的數學代換．
②定理是恆成立的不等式，不等式＂＂中，含大於成立或等於成立兩種情況．何時取＂＝＂號，是我們要深刻理解的．應理解為：＂a＝b＂是不等式＂＂中＂＝＂號成立的充要條件．它是用不等式求最大（小）值時，特別要關注的．
⒊重要不等式的應用
課本上的四個不等式定理，我們也稱為四個＂重要不等式＂，它們的應用主要有兩方面：
1 用重要不等式求最大（小）值，原理如下：
設，（定值），（定值）．
⑴求最小值
由得，且＂＂時，有，
即是說：有最小值為（＂＂時取得）；
⑵求最大值
因為也可變為，
因此，，且＂＂時，有，
即是說：有最大值為（＂＂時取得）．
⑶求最值過程要注意三點
＂一正＂：為正數；＂二定＂：與的積或和為定值；＂三相等＂：不等式＂＂中＂＝＂號要成立．
2 用重要不等式證明不等式
⒋定理拓展：由上面定理還可以推出其他不同形式的不等式，如，時，→→→．
①．②．
以上不等式自左至右分別稱為調和平均值（記作ｈ）、幾何平均值（記作ｇ）、算術平均值（記作ａ）、平方平均值（記作ｑ），於是可以簡記為．
③，．典例剖析
例１ 求函式的最小值．
【分析】顯然，本題應用「知識精要」中的求最小值的方法．函式式共有兩項相加，在的條件下，它們都是正的，但它們的乘積不是定值，直接用定理２，函式不會大於等於乙個常數，不過我們適當的＂配湊＂，，就能滿足了．
解：由，得，
所以，，當且僅當即時取＂＝＂號，
因此，當時，函式取得最小值３.
【評述】應用不等式求最值，必須保證三點：＂一正，二定，三相等＂的條件下，對所求式子進行＂配湊＂．思考：將的條件改為，還能用上述方法嗎？
肯定不能，因為，所以不等式＂＂中＂＝＂號不成立．那又怎麼解呢？
例２ 求函式的最大值．
【分析】顯然，本題應用「知識精要」中的求最大值的方法，但不能直接應用不等式求解．函式式如看成兩因式與，雖能在條件下都是正數，但它們的和不是定值，因此，要在＂一正，二定，三相等＂原則下對函式式進行＂配湊＂：．
解：由，得，
所以，．當，即時，取到最大值．
【評述】把寫成，目的是使等於常數．思考：寫成也能使等於常數，為什麼不這樣解？違反了＂一正，二定，三相等＂三原則的哪一條？
例３ 已知，求證：．
【分析】注意到，不等式是關於的輪換對稱式（在不等式中的作用對等，交換其中任意兩個的位置，結論仍成立），等價於，兩邊的各項的次數沒變，都為４次，只是重新作了分配，可考慮用課本例題１的結論．
證明：∵，
∴，＝，
∴．【評述】利用一些重要的不等式證明，可以理解為對重要不等式中的變數進行代換．如此題第一次分別用代換了第乙個不等式中的；第二次分別用代換了第乙個不等式中的．
例４ 求證：．
【分析】右邊化為與左邊同底的對數，則原不等式等價於
．證明：∵，
又∵為減函式，
∴＝（當且僅當，即時等號成立）．
【評述】此題既用到了平均值不等式，又用到了對數函式的單調性，函式的單調性與不等式的結合稱為數學解題中的「最佳結合」．
基礎訓練
⒈⑴函式，（）當時，取得最值為 ；
⑵函式，（）當時，取得最值為 ；
⑶函式，（）當時，取得最值為 ．
⒉下列說法是否正確，為什麼？
⑴函式無最大值或最小值；
⑵已知，則當時，有最大值９；
⑶函式的最小值為２．
⒊下列不等式的證明過程：
⑴若，則；
⑵若，則；
⑶若，則；
⑷，，則．
其中正確的序號是 ．
⒋若實數滿足，則的最小值是（ ）
⒌設為正實數，且，則（ ）
⒍若，，，，則（ ）
⒎求下列函式的最值：
⒏求下列函式的最值：
⒐在中，已知分別為上的點，且等分的面積，求證
拓展提高
⒑設，且，則的取值範圍是（ ）
⒒設，且恆成立，則最大值是（ ）
abcd．５
⒓是兩個不同的正實數，且，則與的大小關係是 ．
⒔已知，則與的大小關係是 .
⒕求最小值⑴；⑵
⒖若是正實數，，求的最大值．
⒗已知，，且，求的最大值.
⒘若, 求的最小值
⒙已知不等式，對任意正實數恆成立．求正實數的最小值．
⒚已知是給定的正數，求的最小值．
⒛設，求證
模擬高考
２１.已知二次函式，且的兩根都在（０，１）內．求證：．
答案與提示
⒈⑴2，小2，大，-4 ⑶4，小，5 （用函式的單調性解）
⒉⑴對錯，最大值是１２； ⑶錯，要取到最小值２必須，即，此式不成立．
⒊③④．
⒋選ｂ．．
⒌選ａ．∵，∴，∴，
解得，．
⒍選ｂ．當時，由平均值不等式可得，又，，有，故．
⒎⑴當時有，
，僅當即時，等號成立．故．
⑵當時有，
＝ ，僅當即時，等號成立．故．
⒏⑴＝，
僅當即時，等號成立．故
⑵因為，所以，
=．僅當即時，．
⒐記，由面積可得，
又＝．故，時，．
⒑選ｂ．
⒒選ｃ．原不等式變形為＝
∵，即有最小值４，
∴．⒓．∵，即．∴．
⒔⒕⑴＝＝
＝（），僅當時取等號，所以函式的最小值為．
⑵＝，兩次取到等號都是時取得，是一致的．故函式最小值為４.
⒖由於都是正實數，
＝．僅當即時，有最大值為.
⒗解法一：由有，當時有．所以，僅當時等號成立．所以最大值是．
解法二： ，僅當時等號成立．所以最大值是．
⒘∵，∴，僅當時等號成立．∴ ，第二次僅當時等號成立，所以當，時不等式等號成立．∴的最小值是１６.
⒙=,當且僅當即時，不等式取得等號．即有最小值，故要恆成立，只要，解得，．所以的最小值為４.
⒚＝＝．當，即時，取到最小值．
⒛由，有，
即２１.由有兩根，可設，，∴＝＝．
均值不等式
基本不等式 知識要點 1 重要不等式 若，則，當且僅當時，取 2 算術平均數與幾何平均數 設，則把 記作正數 的算術平均數，把 記作正數 的幾何平均數。3 基本 均值 不等式 算術平均數大於或等於幾何平均數 設，則請給出證明 注意 對上述第1點和第3點的補充說明 1 和成立的條件是不同的，前者要求 ...
均值不等式
一 均值不等式的含義及成立的條件 一 原型 二 均值不等式 任意個正數的算術平均值不小於這個正數的幾何平均值 兩個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 三個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 等號僅當 d時成立 三 均值不等式常見的變形 3 幾個常用不等式 如果，則 可以推廣到n的情形 均值不...
不等式選講
1 設f x 2x 1 x 1 1 求f x 0的解集 2 當x 1時，f x f a 求實數a的取值範圍 2 已知函式f x x 3 2，g x x 1 4.1 若函式f x 的值不大於1，求x的取值範圍 2 若不等式f x g x m 1的解集為r，求m的取值範圍 3 已知函式f x x x 3...