基本不等式
知識要點：
1、重要不等式：
若，則，當且僅當時，取「=」.
2、算術平均數與幾何平均數：
設，則把_________記作正數、的算術平均數，把________記作正數、的幾何平均數。
3、基本（均值）不等式： 算術平均數大於或等於幾何平均數
設，則請給出證明：
注意：對上述第1點和第3點的補充說明：
（1）和成立的條件是不同的，前者要求、為任意實數，後者要求、均為正實數；
（2）和都是帶有「=」的不等式。當且僅當時取「=」，這句話的含義是：「」是「=」成立的充要條件，這一點非常重要。
（3）由上述兩個不等式可以得出如下結論：
①若、同號，則；
② （） ；
③ （）
（4）平均值定理可以推廣到個正數的情況，即
，其中，
當且僅當時等號成立。
4、基本不等式的應用：求最值問題。
（1）若、，且（定值），則當且僅當時，有最小值
簡記為：積為定值時，和有最小值；
（2）若、，且（定值），則當且僅當時，有最大值.
簡記為：和為定值時，積有最大值。
注意：一正二定三相等
【典型例題】
例1：已知，且，求的最小值。
例2：（1）設，求函式的最大值；
（2）設，且，求的最小值。
點評：利用不等式性質求最值問題的常見方法：
①「1」的代換；
②統一變數.
變式訓練：
1、正數滿足，求的最小值。
2、（1）已知，，且，求的最小值；
（2）已知，且，求的最小值。
基礎過關題組：
1、設，則，，中最大的是（ ）
abcd、不能確定
2、若，則下列結論不正確的是（ ）
a、 b、 c、 d、
3、下列不等式中證明正確的是（ ）
a、若，則
b、若，則=2
c、若，則
d、4、設，則的最大值是（ ）
a、3bcd、
5、已知，且，下列不等式成立的是（ ）
a、 b、 c、 d、
6、已知、、都是正數，且，則的最小值是______ ；
7、已知、是正實數，求證：
8、已知、、均為正數，且，
求證：9、已知，且，求的最大值。
10、已知求的最小值。
3年高考題組
1、（2011浙江）若為實數，則「」是「」或「」的（ ）
a、充分而不必要條件b、必要而不充分條件
c、充分必要條件d、既不充分也不必要條件
2、（2011上海）若、，且，則下列不等式中恆成立的是（ ）
ab、cd、
3、（2011山東）不等式的解集是（ ）
a、 b、 c、 d、
4、（2011安徽）設變數滿足，則的最大值和最小值分別為（ ）
a、1， b、2， c、1， d、2，
5、（2010重慶）已知則的最小值是（ ）
a、3b、4c
6、（2009安徽）若集合，則是（ ）
ab、cd、
7、（2009全國）不等式的解集為（ ）
ab、cd、
8、（2009全國）設集合，則（ ）
ab、（3,4cd、
9、（2011廣東）不等式的解集是
10、(2010江蘇)設為實數，滿足，，則的最大值是_______.
11、（2012廣東）不等式的解集為
12、（2011重慶）已知，則的最小值是（ ）
ab、4cd、5
13、（2010四川）設，則的最小值為（ ）
a、2b、4cd、5
14、（2011浙江）設為實數，若，則的最大值為_______ .
15、(2011江蘇)在平面直角座標系中，過座標原點的一條直線與函式的圖象交於、兩點，則線段長的最小值是
16、（2011湖南）設，且，則的最小值為_______
一元二次不等式題組
17、（2010全國）不等式的解集是
18、（2012浙江）設，若時均有(),則_____ .
19、已知函式的圖象過點（）；是否存在常數，，，
使不等式對一切實數都成立？
20、（2012長沙十二校聯考）（1）解關於的不等式： ；
（2）命題：，使不等式成立；
命題：恆成立。已知或為真，求實數的取值範圍。
21、（2011廣東六校聯考）設集合{}， {}
（1）求集合；
（2）若不等式的解集為，求，的值.
22、（2011珠海實驗中學）已知函式
（1）當時，恆成立，求的取值範圍；
（2）當[，]時，恆成立，求的取值範圍 .
23、已知在區間[，]上是增函式.
（1）求實數的值組成的集合；
（2）設關於的方程的兩個非零實根為，試問：是否存在實數，使不等式對任意及恆成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由。
24、函式對任意的都有，且當時， .
（1）求證：是上的增函式；
（2）若，解不等式
均值不等式
一 均值不等式的含義及成立的條件 一 原型 二 均值不等式 任意個正數的算術平均值不小於這個正數的幾何平均值 兩個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 三個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 等號僅當 d時成立 三 均值不等式常見的變形 3 幾個常用不等式 如果，則 可以推廣到n的情形 均值不...
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
均值不等式的證明
平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多方法，這裡，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節和討論，如數學歸納法 變數替換 恒等變形和分析綜...