一、 均值不等式的含義及成立的條件
（一） 原型：
（二） 均值不等式：任意個正數的算術平均值不小於這個正數的幾何平均值
兩個數的均值不等式：若，則≥（等號僅當時成立）
三個數的均值不等式：若，則≥（等號僅當時成立）
（等號僅當=d時成立）
（三）均值不等式常見的變形
3、幾個常用不等式：①≤≤ ②≤；
③如果，則≥≥≥（可以推廣到n的情形）
【均值不等式的幾何證明------用幾何意義加深對不等式的理解】
（1）：
如右圖，不妨設，兩個正方體的體積
之和為，兩個矩形的面積之和為：
顯然，這兩部分面積之差為圖中
陰影部分面積.
(2)：
【其一】分析：設，其意義是什麼？
聯想到圓冪定理：
如右圖：設，，則，以為直徑作圓，切線ad與圓相切於d點，則有：ad=，ao=（為什麼？）. 顯然，
【其二】原式即：
如右圖，設，，，
則，，正方形adef的面積=
矩形achg的面積=，
這兩面積的差=，（為什麼？）
即=+（注意：）
（3）：
如右圖：設，，，
則，，則的幾何意義是
而，這兩個面積的差等於
即=+（為什麼？）
二、均值不等式的應用
【適應性預備練習】
1、課本p11練習1、2、3
2、課本p11習題1、2、3、4、6
【方法三種：均值不等式、建構函式的方法、配方法】
（一）應用於證明不等式
--------當所需證明的不等式屬於一些正數的「和」與「積」的不等關係時，可以考慮使用均值不等式證之.
1、 證明：
；【第（1）題方法：具有代表性，五種方法。均值不等式兩、三種、函式的觀點兩種；三角代換】
【熟悉：.對找到思路有幫助熟能生巧】
函式的觀點：主要是消元
此類題中，「1」很大
（二）應用於求函式的值域、最大最小值-----注意前提條件：正數、定值、等號
結構型一：
【第1組】**
(11) 設，求函式的最小值。
【第2組】
*（6）求的最小值
結構型二：
第一組：
（1）（2）；
此題運用導數也可以求解，計算量較小.求導時，不展開括號，可以節省計算量。用幾何畫板可顯示函式的整體影象* * *
（3）（4）
【應用舉例：2023年全國卷第16題. 已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為 5 】
（5）（6）
（7）（8）
（9）【答案：；
題源：《解題全書》上捲p302】
（三）應用於求條件極值-------注意三角代換的使用
1、已知（為常數），，求的最小值
【變化的形式：（1）若且，求的最小值
（2）已知，且，求的最小值】
3）2、已知，，且，求的最大值.
3、設，，且，則
4、已知≥，≥，且，求證：≤
5、已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值.
6、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函式w＝＋的最值.
【變式：求函式的最大值。】
（四）與實際問題的結合
1、圓內接三角形何時面積最大？直觀上看是等邊三角形，嚴格推證：
法三：轉化為求函式，用導數。此式也可以用均值不等式求解。
2、正六稜錐內接於半徑為r的球面內，球心到正六稜錐的底面的距離為h，當正六稜錐的體積v最大時提示：把正六稜錐的體積v看作是其底面邊長r的函式，，然後用變數代換、基本不等式求最大值。答案：
當時，最大體積v=】
三、課後作業
已知那麼的最小值是
已知：，求證：
若，則的最大值是此時
已知，則的最小值為
已知實數滿足則的最小值和最大值分別為
無最大值
求的最小值
當時，求證：．
已知正數、滿足,則的最大值是
下列函式中，的最小值為的是
若，且，則的最大值是
（內江二中）已知，則的最小值是
若是正實數，，則的最大值是
要使不等式對所有正數都成立，試問的最小值是
（屆高三西安市第一次質檢），由不等式≥， ≥，
≥，…，啟發我們得到推廣結論：
≥，則已知：、，，求的最小值
（五）走向高考：
(湖南)設則以下不等式中不恆成立的是
（重慶）若是正數，則的最小值是
(福建文)下列結論正確的是
當且時，則當時，
當≥時，的最小值為當時，無最大值
（陝西）已知不等式≥對任意正實數恆成立,則正實數的
最小值為
（重慶文）若且，則的最小值是
（重慶）若且,則的最小值為
（重慶文）函式f(x)=的最大值為
1（山東）函式（，）的圖象恆過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為
（山東文）當時，不等式恆成立，則的取值範圍是
（上海）若，且，則的最大值是
（上海）若關於的不等式≤的解集是，則對任意實常數，總有
（浙江文）已知
（上海）已知函式＝有如下性質：如果常數＞0，那麼該函式在上是減函式，在上是增函式．
如果函式＝（）的值域為，求的值；
研究函式＝（常數）在定義域內的單調性，並說明理由；
對函式＝和＝（常數）作出推廣，使它們都是你所推廣的函式的特例．研究推廣後的函式的單調性（只須寫出結論，不必證明），並求函式＝＋（是正整數）在區間上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．
均值不等式
基本不等式 知識要點 1 重要不等式 若，則，當且僅當時，取 2 算術平均數與幾何平均數 設，則把 記作正數 的算術平均數，把 記作正數 的幾何平均數。3 基本 均值 不等式 算術平均數大於或等於幾何平均數 設，則請給出證明 注意 對上述第1點和第3點的補充說明 1 和成立的條件是不同的，前者要求 ...
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
均值不等式的證明
平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多方法，這裡，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節和討論，如數學歸納法 變數替換 恒等變形和分析綜...