平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多方法，這裡，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節和討論，如數學歸納法、變數替換、恒等變形和分析綜合方法等，這些也是證明不等式的常用方法和技巧。
1.1 平均值不等式
一般地，假設為n個非負實數，他們的算術平均值記為幾何平均值記為
算術平均值與幾何平均值之間有如下的關係。
即當且僅當
上述不等式成為平均值不等式，或簡稱為均值不等式。
平均值不等式的表達形式簡單，容易記住，但它的證明和應用非常靈活、廣泛，有多重不同的方法。為使大家理解和掌握，這裡我們選擇了其中的幾種典型的證明方法。供大家參考學習。
1.2平均值不等式的證明
證法一（歸納法）
（1） 當n=2時，已知結論成立。
（2） 假設對n=k（正整數k）時命題成立，即對那麼，當n=k+1時，由於
關於是對稱的，任意對調的值不改變，因此不妨設顯然，以及可得所以即兩邊乘以，得
從而，有
證法二（歸納法）
（1） 當n=2時，已知結論成立。
（2） 假設對n=k（正整數k）時命題成立，即對那麼，當n=k+1時，由於
從而，有
證法三（利用排序不等式）
設兩個實陣列和滿足
則同序乘積之和）
亂序乘積之和）
反序乘積之和）
其中是的乙個排列，並且等號同時成立的充分必要條件是證明：切比雪夫不等式（利用排序不等式證明）楊森不等式（young）設， 則對等號成立的充分必要條件是。
琴生不等式（jensen）
設為上凸（或下凸）函式，則對任意，我們都有其中習題一
1. 設求證：對一切正整數n，有
2. 設，求證
3. 設為正實數，證明：
4. 設，求證：
5. 設
6. 設
7. 設a，b，c，d是非負實數，滿足，求證：
8. 設n為給定的自然數，，對於n個給定的實數；
記的最小值為m，求在的條件下，m的最大值。
均值不等式及其證明（百度文庫）2023年3月3日星期六下午14：18用均值不等式證明
用均值不等式求最值
1注意均值不等式使用的條件是否具備
2求和的最值需使積為定值
求積的最值需使和為定值
3注意=必須能夠取到
均值不等式解決某些特殊問題
1均值不等式求有二次分式在區間上的值域
2函式與方程的思想解決恆成立問題
某些不宜使用均值不等式的問題
學習資料：《同步助學方略》、《》
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
均值不等式
基本不等式 知識要點 1 重要不等式 若，則，當且僅當時，取 2 算術平均數與幾何平均數 設，則把 記作正數 的算術平均數，把 記作正數 的幾何平均數。3 基本 均值 不等式 算術平均數大於或等於幾何平均數 設，則請給出證明 注意 對上述第1點和第3點的補充說明 1 和成立的條件是不同的，前者要求 ...
均值不等式
一 均值不等式的含義及成立的條件 一 原型 二 均值不等式 任意個正數的算術平均值不小於這個正數的幾何平均值 兩個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 三個數的均值不等式 若，則 等號僅當時成立 等號僅當 d時成立 三 均值不等式常見的變形 3 幾個常用不等式 如果，則 可以推廣到n的情形 均值不...