第四章微積分中值定理與證明
4.1 微分中值定理與證明
一基本結論
1．零點定理：若在連續，，則，使得．
2．最值定理：若在連續，則存在使得．其中
分別是在的最小值和最大值．
3．介值定理：設在的最小值和最大值分別是，對於，
都存在使得．（或者：對於，都存在使得）
4．費瑪定理：如果是極值點，且在可導， 則．
5．羅爾定理：在連續，在可導，，則使得
．6．拉格朗日定理：在連續，在可導，，則使得
．7．柯西定理：，在連續，在可導，且，則
使得．8．泰勒公式和馬克勞林公式：（數三不要求）
泰勒公式： （在和之間）
麥克勞林公式： （在0 和之間）．
應用說明：
（1）定理1-3，結論是存在一點，使函式在該點的函式值為0，或某個常數；
（2）定理4-7，結論是存在一點，導函式在該點的函式值為0，或某個常數；；
（3）定理4-6僅僅涉及乙個函式，而定理7涉及兩個函式；
（4）定理8主要用於具有高階導數的函式；
題型1 方程的根的討論
1．方程根的存在性：主要應用零點定理．
2．方程根的個數的討論：求出單調區間，對每個單調區間應用零點定理來判斷是否有零點，即是否有根，從而得到函式在給定的區間上根的個數以及根所處的位置（範圍）．
例1 證明：當時，實係數方程只有唯一實根．
證明令，則，由於，於是
，即單調遞增的．由於
， 所以與軸有且僅有乙個交點．所以方程只有唯一實根．
例2 證明方程只有乙個實根．
證明設，則，令，解得．顯然在上，，於是在單調減少；在上，，於是在單調增加，而，所以方程只有乙個實根．
例3 討論方程中的常數，在什麼情況僅有乙個根，兩個根，三個根？
解令，則，令，解得．於是在上，單調增加，在上，單調減少；在上，單調增加，根據函式影象，當或，函式影象僅與軸有乙個交點；當或，函式影象僅與軸有兩個交點；當且，函式影象僅與軸有三個交點；綜上所述
（1）或，方程僅有乙個根；
（2）或，方程有兩個根；
（3），方程有三個根；
例4設在上有連續導數，且，，證明；在上僅有乙個零點.
證明應用拉格朗日定理，有
，從而有．根據，則有．又由於，所以一定存在零點.，再根據可知，則在上僅有乙個零點．
例5 設函式是可導，證明：的任何兩個零點之間必有乙個零點．
證明令，又設是的兩個零點，即
.而，，由於函式是可導，於是函式連續，所以在閉區間滿足羅爾定理條件，從而存在，使得
．由於，所以，這蘊含著
．例6 設函式在上有且，證明：在上，方程僅有一實數根. 數學三不要求）
證明根據泰勒公式：，於是
，因此存在點使得，又由於，以及連續，所以存在零點．
下面證明唯一性：只需證明是單調的，即證明或．事實上，
由於，，所以在上，．
例7 求證：方程的根不超過三個
證明用反證法：令，若函式有四個零點，不妨設
，且，顯然在均滿足羅爾定理條件，於是存在三點，其中，使得
．同樣，對導函式在應用羅爾定理，則存在兩點，其中
，且．類似地，對二階導函式在應用羅爾定理，則存在一點，使得
．而，於是有，這是個矛盾結果．
題型2 利用函式的單調性和最值證明不等式
例1當時， 證明：
（1）；
（2）．
證明 （1）設，則 ，，
所以，函式嚴格單調遞增，又由於，因此在上，；於是，函式嚴格單調遞增，且，從而在上，．即
．（2）設，則
，由於，為了確定的符號，我們令，則
，於是嚴格單調遞增，由於，因此在上，．於是，即
．例2 設，證明
證明為了證明，只要證明．於是令，則，，
所以，函式嚴格單調減少，又由於，因此，即
．例3 證明：當時，．
證明事實上，我們只要證明：在上的最值的絕對值不超過即可．
由於，令，解得和，於是函式
在上的最值：
， 於是當時，
．例4 證明：當時，
證明 （方法1：利用凸函式性質）令，得到，
所以在上上凸，而，所以在上，．即
． （方法2：變形）令，則
．因此在上單調遞減．又由於，於是在上，，故（）
即（）．
題型3 利用拉格朗日和柯西中值定理證明不等式
基本結論：
（1）若（），則是凹（凸）函式，於是，有
（）．（2）若在上滿足拉格朗日定理條件，則
．其中，根據，確定的不等式．
（3）若和在上滿足柯西定理條件，則
．其中，根據，確定的不等式．
例1 證明不等式：．
證明設（）．顯然在滿足拉格朗日定理條件，則有，，即
由於，於是，因此
．例3 證明不等式：．
證明設和（）．顯然在滿足柯西定理條件，則有，，即
因此有．
題型4 存在一點滿足某個等式的證明
1． 如果所證等式不含導數，一般應用：最值定理，介值定理，，零點定理；
2． 如果所證等式含有導數，一般應用：羅爾定理，拉格朗日定理，柯西定理，
例1 設在上連續，，證明對任意的正數有
證明 （方法1：利用零點定理） 令，因為
在上連續，所以在上連續，且
．若，我們取或，結論顯然成立．若，則
根據零點定理，有，所以有．
（方法2：利用介值定理）由於在上連續，所以在上可以達到最
大值和最小值，使得，當然，所以，故
，從而有
，根據介值定理，有
，所以有
．例2 設在上連續，，證明：，使得．
證明引入輔助函式，則
．若，結論已經成立．若，則，由於在上連續，根據零點定理，使得，即
．例3 若在上連續，，都，使得，
則，使得．
證明由於在上連續，於是在上也連續，由最值性，在上取到最小值，不妨令（最小值），接下來，只要證明：．
事實上，對於，根據已知條件，存在，有，於是，不然將產生矛盾．
例4 設在上可導，滿足，證明：，有
．證明引入輔助函式，則．由於在上可導，
所以在上滿足羅爾定理條件，於是存在，使得．由於
，於是．即，有
．例5 設在上連續，在內可導，且，求證：存在
滿足．證明引入輔助函式：，則，於是在上滿足羅爾定理條件，從而存在，使得
．由於，於是，即
．例6 設函式在區間上連續，且，，證明：
在上至少存在一點，使．
證明由於函式在上連續，於是可以取到最大值和最小值，因此
， 由於，所以，根據介值定理，存在一點，使得．於是在上滿足羅爾定理條件，則存在，使得
．例7 設在上連續，在可導，且，求證：存
在，使得．
證明引入輔助函式，顯然．由於
，．根據在閉區間連續性，於是由零點定理，有，使得，所以在閉區間滿足羅爾定理條件，存在，使得．由於，所以，即．
例8 設在上可導，滿足，證明有
．證明引入輔助函式．由於，於是根據積分
中值定理，有
．於是有．
由於在上可導，所以在上滿足羅爾定理條件，於是存在，使得．由於，於是
．即，有
．例9 設在上二階可導，且，又，證明：
存在，使．
證明已知，，於是，因此
在滿足羅爾定理條件，從而存在，使得．又由於
，於是，所以，在滿足羅爾定理條件，從而存在，使得．
例10 設在上具有二階導數，且，，證
明：在開區間上至少存在一點，使．
證明在上滿足羅爾定理條件．於是存在，使得．根
據得到，，其中，根據羅爾定理，存在有，從而得到在上滿足羅爾定理條件，在開區間上至少存在一點，使．
例11 設在二階可導，且，求證：存在滿足
．分析解方程，即，於是輔助函式為
．證明令，顯然．另外，由於在二階可導， 且，於是在上滿足羅爾定理條件，從而存在，使得．當然，所以在上滿足羅爾定理條件，存在，使得．由於
所以整理得到
．例12 設在上連續，且，證明：存在滿足
．分析解方程，即，所以輔助函式為
． 例13和例14對數三考生不做要求：
例13 若在上有三階導數，且，設，證明：
在內至少存在乙個使得.
證明由於具有三階導數，於是
由於，所以，故
，因為，所以，即存在乙個使得.
例14 設在區間上具有三階連續導數，且，，
求證：在上至少存在一點，使
證明：由於
且 所以有．由於函式在區間上具有三階連續導數，所以函式
在區間上有最大值和最小值分別為，故有
，根據介值定理，在開區間上至少存在一點，使
題型5 存在兩點滿足某個等式的證明.
例1 設在（）上連續，在內可導，且，證明：
存在和滿足，其中．
分析整理，即，所以只要對函式
和分別應用拉格朗日中值定理．
證明令，，由於在（）上連續，在
內可導，所以和在區間上滿足拉格朗日中值定理條件，於是存在
，使得，．
即於是有
．例2 設在（）上連續，在內可導， 且，證明存在
和滿足．
證明對函式在上應用拉格朗日定理，得到
，．對函式和在上應用柯西中值定理，得到
，，上面兩式相除，整理得到
．例3 設在（）上連續，在內可導，且，證明：
存在和，滿足．
證明對函式和在上分別應用拉格朗日中值定理，得到
，． 即
於是有．即．
例4 設在（）上連續，在內可導， 且，求證：
存在，，使得．
證明對函式在上應用拉格朗日定理；對和在上應用
柯西中值定理，有
，；，．
將上面兩式相除，整理得到
．1．試證方程，其中至少有乙個正根並且不超過．
（提示：只需證明函式在至少有乙個根）
2．試證方程恰有兩個實根．
（提示：函式是偶函式，關於軸對稱）
3．設在上連續，且，證明：方程在內有且只有乙個實根．（提示：令，證明單調，滿足零點定理條件）
4．設，在上連續，在可導，證明：在內至少存在一
點，使得．
（提示：對兩個函式和在上應用柯西中值定理）
5．設在上連續，在可導，且，證明：在，使得．
（提示：引入輔助函式，在上滿足羅爾定理條件）
6．設在上可導，且，證明：
（1），使得．
（2）在上存在，使得．
（提示：引入輔助函式，在上滿足羅爾定理條件，且在上也滿足羅爾定理條件）
6．證明：對，有．
（提示：利用函式的單調性分別證明和）
7．設在上連續，在可導，且，證明：對任意的常數，都存在，使得．
（提示：引入輔助函式，驗證在上滿足羅爾定理條件）
8．證明不等式：
（1），；（仿照例題）
（2），；（變形，證明函式單調）
（3），；（利用函式的單調性）
（4），；（利用拉格朗日定理）
（5），；（利用函式的單調性）
（6），；（證明函式）
9．若在上連續，在可導，則，使得
證明不等式
20.已知函式 i 當時，若函式在其定義域內是增函式，求b的取值範圍 ii 若的圖象與x軸交於兩點，且ab的中點為，求證 20.1 由題意 在上遞增，對恆成立，即對恆成立，只需，當且僅當時取 的取值範圍為 2 由已知得，兩式相減，得 由及，得 令，且，在上為減函式，又，2009 遼寧理21 本小題滿...
不等式證明
二 部分方法的例題 1.換元法 換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變數替換可以改變問題的結構，便於進行比較 分析，從而起到化難為易 化繁為簡 化隱蔽為外顯的積極效果。注意 在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干...
不等式證明
教學目標 1 理解證明不等式的三種方法 比較法 綜合法和分析法的意義 2 掌握用比較法 綜合法和分析法來證簡單的不等式 3 能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式 4 能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題 解決問題的能力 6 通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維...