1. （2009全國ii理21，字母替換，建構函式）設函式有兩個極值點，且
⑴求的取值範圍，並討論的單調性；
⑵證明：.
解: ⑴
令，其對稱軸為。
由題意知是方程的兩個均大於的不相等的實根，其充要條件為，得
當時，在內為增函式；
當時，在內為減函式；
當時，在內為增函式；
⑵由⑴知，
由得，設，
則當時，在單調遞增；
當時，，在單調遞減。
所以，故．
2. （2011遼寧理21，變形建構函式，二次）已知函式.
⑴討論函式的單調性；
⑵設，如果對任意，≥，求的取值範圍.
解：⑴的定義域為（0，+∞）. .
當時，＞0，故在（0，+∞）單調增加；
當時，＜0，故在（0，+∞）單調減少；
當－1＜＜0時，令=0，解得.
則當時，＞0；時，＜0.
故在單調增加，在單調減少.
⑵不妨假設，而＜－1，由⑴知在（0，+∞）單調減少，從而，等價於，…… ①
令，則①等價於在（0，+∞）單調減少，即.
從而,設並設，
∴，∴≤
故a的取值範圍為（－∞，－2].
3. （遼寧，變形構造，二次）
已知函式f(x)=x2－ax+(a－1)，.
（1）討論函式的單調性；
（2）證明：若，則對任意x,x，xx，有.
解：(1)的定義域為.
①若即,則，故在單調增加。
②若,而,故,則當時，;
當及時，
故在單調減少，在單調增加。
③若,即,同理在單調減少，在單調增加.
⑵考慮函式
則（另一種處理）
由於1當時，有.
（另一種處理）
，結合二次函式圖象
設≥≥＞0
4. 已知函式，a為正常數．
⑴若，且a，求函式的單調增區間；
⑵在⑴中當時，函式的圖象上任意不同的兩點，，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：．
⑶若，且對任意的，，都有，求a的取值範圍．解：⑴∵a，令得或,∴函式的單調增區間為.
⑵證明：當時
∴, ∴,又
不妨設 ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又∵，∴ 即比較與的大小．
令,則,
∴在上位增函式．
又，∴， ∴，即
⑶∵ ，∴
由題意得在區間上是減函式．
當， ∴
由在恆成立．
設，，則
∴在上為增函式，∴.
當，∴由在恆成立
設，為增函式,∴
綜上：a的取值範圍為.
5. （2011陝西21，變形構造，反比例）設函式定義在上，，導函式，．
（1）求的單調區間和最小值；
（2）討論與的大小關係；
（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵，∴（為常數），
又∵，所以，即，∴；，
∴，令，即，解得，
當時，，是減函式，故是函式的減區間；
當時，，是增函式，故是函式的增區間；
所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是．
（2），設，則，
當時，，即，
當時，，，因此函式在內遞減，
當時，=0，∴；
當時，=0，∴．
（3）滿足條件的不存在．證明如下：
證法一假設存在，使對任意成立，
即對任意有
但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對任意成立．
證法二假設存在，使對任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而時，的值域為，
∴當時，的值域為，
從而可以取乙個值，使，即,
∴，這與假設矛盾．
∴不存在，使對任意成立．
6. （替換構造不等式）
已知函式在點的切線方程為.
⑴求函式的解析式；
⑵設，求證：≥在上恆成立；（反比例，變形構造）⑶已知，求證：.（替換構造）
解：⑴將代入切線方程得.
∴，化簡得.
，解得.∴ .
⑵由已知得在上恆成立
化簡，即在上恆成立
設，.∵ ∴，即
∴在上單調遞增，
∴在上恆成立 .
⑶∵，∴，由⑵知有，
整理得∴當時，.
7. （2010湖北，利用⑵結論構造）
已知函式的圖象在點處的切線方程為.
（反比例，作差構造）
⑶.（替換構造）
解：本題主要考察函式、導數、不等式的證明等基礎知識，同事考察綜合運用數學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想。
⑴，則有，解得.
⑵由⑴知，，
令， 則 ，
①當 ，
若 ，則，是減函式，所以
，故在上恆不成立。
②時，若，故當時，。
綜上所述，所求的取值範圍為
⑶由⑵知：當時，有.
令，有當時，
令，有 即 ，
將上述個不等式依次相加得
,整理得.
8. 已知的影象在點處的切線與直線平行.
（1）求a，b滿足的關係式；
（2）若上恆成立，求a的取值範圍；
（3）證明： （n∈n*）
解：（ⅰ），根據題意，即.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
令，則，=
①當時， ，
若，則，在減函式，所以，即在上恆不成立．
②時，，當時，，在增函式，又，所以．
綜上所述，所求的取值範圍是.
（ⅲ）由（ⅱ）知當時，在上恆成立．取得
令，得，
即,所以
上式中n=1，2，3，…，n，然後n個不等式相加得9. 已知函式
（1）求函式的極值點。
（2）若恒成立，試確定實數的取值範圍。
（3）證明：.
解：(1)的定義域為（1，+∞），.
當時，，則在（1，+∞）上是增函式。
在（1，+∞）上無極值點.
當時，令，則.
所以當時，，
∴在上是增函式，
當時，，
∴在上是減函式。
∴時，取得極大值。
綜上可知，當時，無極值點；
當時，有唯一極值點.
(2)由(1)可知，當時，，不成立.故只需考慮.
由(1)知，，
若恒成立，只需即可，
化簡得：,所以的取值範圍是[1，+∞）.
(3)由(2)知，∴.∴
10. （替換構造）
已知函式.
⑴求函式的最小值；
⑵若≥0對任意的恆成立，求實數a的值；（一次，作差構造）⑶在⑵的條件下，證明：.
解：（1）由題意，由得.
當時, ；當時，.
∴在單調遞減，在單調遞增.
即在處取得極小值，且為最小值，
其最小值為
（2）對任意的恆成立，即在上，.
由（1），設，所以.
由得.∴在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
∴在處取得極大值.
因此的解為，∴.
（3）由（2）知，因為，所以對任意實數均有，即.
令 ，則.∴.∴.
不等式證明
第四章微積分中值定理與證明 4.1 微分中值定理與證明 一基本結論 1 零點定理 若在連續，則，使得 2 最值定理 若在連續，則存在使得 其中 分別是在的最小值和最大值 3 介值定理 設在的最小值和最大值分別是，對於，都存在使得 或者 對於，都存在使得 4 費瑪定理 如果是極值點，且在可導，則 5 ...
證明不等式
20.已知函式 i 當時，若函式在其定義域內是增函式，求b的取值範圍 ii 若的圖象與x軸交於兩點，且ab的中點為，求證 20.1 由題意 在上遞增，對恆成立，即對恆成立，只需，當且僅當時取 的取值範圍為 2 由已知得，兩式相減，得 由及，得 令，且，在上為減函式，又，2009 遼寧理21 本小題滿...
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