1．基本不等式
(1)定理：如果a，b∈r，那麼a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那麼____，當且僅當______時，等號成立．也可以表述為：兩個____的算術平均它們的幾何平均．
(3)利用基本不等式求最值：對兩個正實數x，y，
①如果它們的和s是定值，則當且僅當______時，它們的積p取得最____值；
②如果它們的積p是定值，則當且僅當______時，它們的和s取得最____值．
2．三個正數的算術—幾何平均不等式
(1)定理如果a，b，c均為正數，那麼____，當且僅當________時，等號成立．
即三個正數的算術平均________它們的幾何平均．
(2)基本不等式的推廣
對於n個正數a1，a2，…，an，它們的算術平均________它們的幾何平均，即____， 當且僅當時，等號成立．
3．柯西不等式
(1)設a，b，c，d均為實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立．
(2)設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在乙個數k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立．
(3)柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ時，等號成立．
1．設a、b、c是正實數，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值為________
題型一柯西不等式的應用
例1 已知3x2＋2y2≤6，求證：2x＋y≤.
例２．已知函式f(x)＝2＋.
(1)求證：f(x)≤5，並說明等號成立的條件；
(2)若關於x的不等式f(x)≤|m－2|恆成立，求實數m的取值範圍．
思維昇華使用柯西不等式時，關鍵是將已知條件通過配湊，轉化為符合柯西不等式條件的式子，二維形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立．
若3x＋4y＝2，則x2＋y2的最小值為______．
題型三放縮法或數學歸納法
例3 若n∈n*，sn＝＋＋…＋，求證： .
思維昇華 (1)與正整數n有關的不等式證明問題，如果用常規方法有困難，可以考慮利用數學歸納法來證明．在利用數學歸納法證明不等式時，在第二步驟中，要注意利用歸納假設．同時，這一步驟往往會涉及分析法、放縮法等綜合方法．本題可用數學歸納法進行證明，但較麻煩．
(2)放縮法證明不等式，就是利用不等式的傳遞性證明不等關係．常見的放縮變換有<， >， <， >.其中k∈n*，k>1.
求證：－<1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈n＋)．
利用算術—幾何平均不等式求最值
方法與技巧
1．不等式的證明方法靈活，要注意體會，要根據具體情況選擇證明方法．
2．柯西不等式的證明有多種方法，如數學歸納法，教材中的引數配方法(或判別式法)等，引數配方法在解決其它問題方面應用比較廣泛．柯西不等式的應用比較廣泛，常見的有證明不等式，求函式最值，解方程等．應用時，通過拆常數，重新排序、添項，改變結構等手段改變題設條件，以利於應用柯西不等式．
失誤與防範
1．利用基本不等式必須要找準「對應點」，明確「模擬物件」，使其符合幾個著名不等式的特徵．
2．注意檢驗等號成立的條件，特別是多次使用不等式時，必須使等號同時成立.
a組專項基礎訓練
1．若<<0，則下列四個結論：
①|a|>|b|；②a＋b2；④ <2a－b.其中正確的是________．
2．若t1＝，t2＝，則當s，m，n∈r＋時，t1與t2的大小為________．
3．設04．已知x，y∈r，且xy＝1，則(1＋)(1＋)的最小值為________．
5．設x>0，y>0，m＝，n＝＋，則m、n的大小關係為
6．若a，b∈r＋，且a≠b，m＝＋，n＝＋，則m、n的大小關係為________．
7．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為________．
8．已知a，b，c為正實數，且a＋2b＋3c＝9，則＋＋的最大值為________．
9．(2013·天津)設a＋b＝2，b>0，則當a＝________時，＋取得最小值．
10．設a>0，b>0，則以下不等式①>，②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2中恆成立的序號是________．
b組專項能力提公升
1．已知x>0，y>0，且＋＝1，則x＋y的最小值為
2．函式y＝x2·(1－3x)在上的最大值是________．
3．(2013·陝西)已知a，b，m，n均為正數，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________．
4．已知a，b為實數，且a>0，b>0.
則的最小值為________．
5．p＝＋＋(x>0，y>0，z>0)與3的大小關係是________．
6．已知x2＋2y2＋3z2＝，則3x＋2y＋z的最小值為
7．設a，b，c都是正數，那麼三個數a＋，b＋，c填序號)
①都不大於2；
②都不小於2；
③至少有乙個大於2；
④至少有乙個不小於2.
答案基礎知識自主學習
要點梳理
1．(2)≥ a＝b 正數不小於(即大於或等於)
(3)①x＝y 大 ②x＝y 小
2．(1)≥ a＝b＝c 不小於 (2)不小於 ≥ a1＝a2＝…＝an
4．(1)①a－b>0 ②>1 (2)充分條件 (4)相反
(5)放大或縮小
夯基釋疑
1．2 解析 ∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·[( )2＋( )2＋( )2]≥2＝182.
題型分類深度剖析
例1 證明由於2x＋y＝(x)＋(y)，
由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得
(2x＋y)2≤[()2＋()2](3x2＋2y2)≤(＋)×6＝×6＝11，∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.
例２解(1)證明：由柯西不等式得(2＋)2≤(22＋12)·[()2＋()2]＝25，
所以f(x)＝2＋≤5，當且僅當＝，即x＝4時等號成立．
(2)由(1)知f(x)≤5，又不等式f(x)≤|m－2|恆成立，所以|m－2|≥5，
解得m≥7或m≤－3，故m的取值範圍是(－∞，－3]∪[7，＋∞)．
跟蹤訓練1 解析由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
不等式①中當且僅當＝時等號成立，x2＋y2取得最小值，由方程組解得因此當x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值為.
例3 證明 ∵n(n＋1)>n2，∴sn>1＋2＋…＋n＝. 又∵<＝＝n＋，∴sn<(1＋)＋(2＋)＋…＋(n＋)＝＋＝<.∴ 有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的區域性不等式，逐一證明後，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。例1.若，求證 分析 由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當，即時，等號才能成立，所以可構造區域性不等式。證明 同理，例2.設是n個正數，求證 證明 題中這些正數的對... 一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式... 在數學領域裡，不等式知識占有廣闊的天地，而乙個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩 下面擇要介紹一些著名的不等式 一 平均不等式 均值不等式 設 是個實數，叫做這個實數的算術平均數。當這個實數非負時，叫做這個非負數的幾何平均數。當這個實數均為正數時，叫做這個正數的調和平均數。設 為個正數時，...構造區域性不等式證明不等式
均值不等式與不等式的證明
著名不等式薈萃