二. 教學目的
掌握不等式證明的方法與技巧
三. 教學重點、難點
不等式的證明方法
四. 知識分析
【不等式證明的方法技巧】
方法一用比較法證明不等式
比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，包括作差法和作商法。
作差法的一般步驟為「作差—變形—判斷符號」。其中變形是作差法的關鍵，配方和因式分解是常用的變形手段，為了便於判斷「差式」的符號，常將「差式」變形為乙個常數、乙個常數與幾個平方和或幾個因式的積的形式，當所得的「差式」是某個字母的二次三項式時，則常用判別式法判斷符號。
作商法的一般步驟為「作商—變形—判斷商與數1的大小關係」。
一般地，證冪、指數不等式，常用作商法，證對數不等式，常用作差法。
當「差」或「商」式中含有字母時，一般需對字母的取值進行分類討論。
例若，求證：。
［證明］證法一：當時，∵，∴=。
∵，，∴。
∴，∴。若，則
=。∵，
∴。∴，故原不等式成立。
證法二：此題也可用作商法。
即，∵，，∴
∴。∴。
方法二用綜合法證明不等式
用綜合法證明不等式中所依賴的不等式主要是重要不等式。要掌握重要不等式及其變形形式，一般說來，當條件中資訊量較大，不易於推理，或要證不等式與重要不等式相差較明顯時，用綜合法證明不等式。
例設、b、c，求證：
。［證明］∵，∴。
於是，同理，
三式相加即得：。
方法三用分析法證明不等式
用分析法證明不等式要把握三點：
1. 尋找使不等式成立的充分條件時，往往是先尋找使不等式成立的必要條件，再考慮這個必要條件是否充分。
2. 分析法和綜合法要結合起來使用，也就是「兩頭湊」，會使問題較易解決。
3. 分析法的敘述較繁瑣，且不易看懂，往往是用分析法探尋思路，用綜合法敘述證明過程。
一般來說，如果已知條件資訊量較小，或已知與待證間的直接聯絡不明顯，「距離」較大，用分析法來證明。
例已知正數a、b、c滿足，求證：。
［證明］要證，
只需證，也就是只要證，
∵兩邊都是非負數，∴只要證，
也就是只要證，
即只要證。
∵，只需證。
這就是已知條件，且以上各步都可逆，
∴證得。
方法四用反證法證明不等式
用反證法證明不等式，常從否定結論出發通過邏輯推理，匯出矛盾，從而肯定命題成立。但要注意對結論的反面要一一否定，不能遺漏，方能得出原不等式成立。
例已知a、b、c，求證：、、不能同時大於。
［證明］證法一：假設三式同時大於
即有，，。
三式同向相乘，得。
又，同理，
∴，因此與假設矛盾，原命題正確。
證法二：假設三式同時大於。
∵，∴，
。同理都大於。
三式相加，得，矛盾，
∴原命題成立。
方法五換元法證明不等式
1. 代換變換多以三角代換出現，把代數問題轉化為三角函式問題，利用三角函式的性質，使問題得到證明。
2. 根據具體問題，實施的代換方法有：
（1）若，可設。
（2）若，可設。
（3）對於，∵，由或知，可設或。
（4）對於，∵，可設或。
（5）對於，∵，由或知，可設或。
（6）若，可設，，。
例若，求證：。
［證明］∵，，所以可設且。∴=
。方法六放縮法證明不等式
例設，當時，總有，求證：。
［證明］∵，，∴，，。
又∵∴∴，∴。
方法七判別式法證明不等式
例設，，且。求證：。
［證明］∵，∴，
∴，而，
∴，∴、為方程①的兩實根，而，故方程①有均大於c的兩不等實根。設，則
方法八用函式法證明不等式
例試證。
［證明］令，
令，∴，∴，
，∵，∴，
∴在，單調遞增，
∴，即。
【典型例題】
例1 若x、y、z，a、b、c，求證：。
剖析：本小題考查運用比較法和綜合法證明不等式。
證明：證法一：∵，∴。
證明二：∴
=，∴。
點悟：上述配方技巧的實現關鍵在於合理的分項。
例2 已知0，，。求證：。
剖析：本小題考查綜合法的應用。
證明：證法一：∵
∴。∴。
∴。當且僅當時取「=」號。
證法二：∵，，，
∴。∴。∴。
當且僅當時取「=」號。
點悟：在本題中，與取等號的條件是一致的，即，否則最終的等號不能取到。注意「1」的靈活運用。
例3 已知a、b、m都是正數，並且，求證：。
剖析：本小題考查不等式證明方法的靈活運用。
證明：證法一：（商值比較法）
∵，，∴，
從而，∴。
證法二：（換元法）
設，則。
證法三；（函式單調性法）
作輔助函式。
∵函式在上單調遞增，
又，∴，即。
證法四：（放縮法）
∵a、b、m，且，
∴。點悟：該題證明方法多種多樣，需在學習過程中熟練掌握、及時歸納。
例4 （2004全國ii）已知函式，。
（1）求函式的最大值；
（2）設，證明。
剖析：本小題考查函式不等式的綜合應用。
解析：（1）函式的定義域為。
令，解得。
當時，；當時，。
又，故當且僅當時，取得最大值，最大值為0。
（2）證法一：
。由（1）結論知，
由題設，得0，，因此。
∴。又，。∴。
證法二：，
設，則。
當時，，因此在上為減函式；
當時，，因此在上為增函式。
∴當時，有極小值。
∵=0，，
∴，。設，則
當。因此在上為減函式。
∵，，∴，
即。點悟：本題難度較大，它將函式、不等式、導數等知識融於一題，入手雖較易，但卻不易得證。而利用第一問的結論來推證第二問的不等式是突破第二問的重要資訊。
【易錯題剖析】
易錯題一已知，，求證：。
解題思路：∵，，，
∴，故。
失分警示：同學們常出現下面的錯誤證法：
，以上三式相加得
，從而證不出所要證的不等式。
錯誤原因是三個等號同時成立的條件不具備。
易錯題二已知a、b、c，求證：。
解題思路：∴a、b、c，∴，①
同理，②
，③①+②+③得，
即。失分警示：誤區：∵a、b、c，∴，①
又，②①②得。
上面的證明似乎天衣無縫，但細心者不難發現，在證明的過程中用到的論據之一「若0，，則」是虛假的，事實上，舉一反例就可發現它是一假命題，例如有，，而。因此，原題的真實性仍無法判定。
在不等式證明中，經常會出現與此題類似的錯誤，即用乙個錯誤的命題去說明某個結論成立，這種證明顯然沒有意義，當然防止此錯誤的發生也並不是一件很簡單的事情，要求對不等式的性質非常熟悉，才能做到證明時證據充足。
易錯題三已知不等式對大於1的自然數n都成立，求證：實數a的取值範圍為。
解題思路：設，
則。所以，即是關於的遞增函式。
所以，所以原不等式可化為。
整理得解得，所以就是所求。
失分警示：因為，所以原不等式為。化簡得解得。所以就是所求。
上述解法由的放縮是不合理的，使不等式範圍變大了。
易錯題四設，n為偶數，證明：。
解題思路：
（1）當，時，。
所以，故。
（2）當、b有乙個為負值時，不妨設0，，且，所以。
又n為偶數，
所以，又，
故，即綜合（1）、（2）知原不等式成立。
失分警示：誤區：∵，
因為為偶數，∴，又和同號，∴故。
n為偶數時，和不一定同號，這裡忽略了在題設條件的情況下，應分0、和a、b中有乙個負值兩種情況加以討論。
【模擬試題】
一、選擇題
1. 設p=(m2+1)(n2+4)，q=(mn+2)2(m＞n)，則（ ）
2. 已知為常數，且a與b為正數，則（ ）
3. 已知a＞b＞0，則在下列不等式中不成立的是（ ）
①abba＞aabb ②abba＜aaba ③aa＜bb ④()a－b＞1
a.①② b.②③ c.①③ d.②④
4. 設，則a，b，c的大小關係是（ ）
5. 若0＜a＜b＜1，則（ ）
6. 設且，則（ ）
7. 設，那麼一定有（ ）
8. 設，且，若，則必有（ ）
9. 設m≠n，x=m4－m3n，y=mn3－n4，則x、y的大小關係為（ ）
d.與m、n的取值有關
二、填空題
10. 若，且，則的最大值是
11. 設a＞0，b＞0，c＞0，則的最小值為
12. 若且，給出四個式子：，其中代數式值最大的乙個是
13. 設，若p>q，則實數a、b滿足的條件是
14. 若，且，則x的取值範圍是
三、解答題
15. 設且，試比較與的大小。
【試題答案】
一、 2. b 4. b 6. a 7. b 8. d
二、10.
11. 6
12.13. 或
14.三、15. 解析：（當且僅當時取等號）
當時，即
當時，，即
構造區域性不等式證明不等式
有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的區域性不等式，逐一證明後，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。例1.若，求證 分析 由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當，即時，等號才能成立，所以可構造區域性不等式。證明 同理，例2.設是n個正數，求證 證明 題中這些正數的對...
均值不等式與不等式的證明
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不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...