【基礎知識精講】
1.證明不等式時，常用的不等式：
①(a-b)2≥0 (a、b∈r)
a2+b2≥2ab (a、b∈r)
+≥2 (ab>0)
②≥≥≥ (a、b>0)(即平方平均數不小於算術平均數，算術平均數不小於幾何平均數，幾何平均數不小於調和平均數.)
③a3+b3+c3≥3abc (a、b、c∈r+當且僅當a＝b＝c時取等號)
≥ (a、b、c∈r+當且僅當a＝b＝c時取等號)
④a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c∈r)
2.不等式的證明方法
①比較法
比較法是不等式的各種證法中最基本、最重要的方法，它包括作差比較法和作商比較法.用比較證明不等式的一般步驟是：作差(作商)判斷符號(或判斷與1的大小).
變形的主要方法是因式分解、配方、通分等.過程要詳細敘述.
②綜合法：從已知條件出發，利用不等式的性質及其它已經證明過的不等式來推出結論成立的方法.
③分析法：即從結論出發，執果索因，步步尋求上一步成立的充分條件.分析法與綜合法對立統
一、相輔相成.
④反證法：從假設結論的反面成立，逐步推出矛盾，從而肯定結論正確的方法.當題中有「至多」、「至少」、「都」等詞語時，可考慮採用反證法.
⑤換元法：當直接證不等式遇到困難時，可考慮「換元」，常見的換元有「三角換元」、「均值換元」、「整體換元」.
⑥放縮法：利用不等式的傳遞性，欲證a≤b，若知a≤c，只需證c≤b即可.應用此法時應注意放大或縮小不等式的範圍，用捨掉一些正(負)項而使不等式各項之和變小(大)，或者分式放大或縮小分式的分子、分母等方法而達到其目的.
⑦判別式法：有理分式函式去分母整理或關於x的二次方程，利用判別式求函式值域達到證明不等式的目的.
⑧函式的單調性：利用二次函式，三角函式及其它函式單調性來證明不等式.
3.本節學習要求
(1)證明不等式，常常要利用到不等式的性質和一些已經證明過的常用不等式.
(2)本節中涉及數學思想方法較多，如反證法、換元法、判別式法、放縮放等.深刻理解不等式證明的各種思想方法，靈活運用這些方法來證題.
通過本節學習，培養學生邏輯推理能力以及具體問題具體分析的能力，使學生掌握比較、分析、綜合、反證法、換元等數學思想方法.
【重點難點解析】
不等式的證明，由於題型多變、方式多樣、技巧性強，加上無固定程式可循，因而常有一定的難度.解決這個困難的出路在於深刻理解不等式證明中應用的數學思想方法，熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法——比較法、分析法、綜合法，以及其它的證明方法——反證法、換元法、判別式法、放縮法、函式的單調性法、構造法等.
例1 證明≥
分析一注意到題中x2+5＝x2+4+1.可將式子拆開，
故 ＝＝+
∵ ＝不能成立，故不能直接運用均值不等式.設t＝，則t≥2且＝t+，並設f(t)＝t+，則需研究函式在t∈［2，+∞)的單調性，再利用函式的單調性來進行證明.
設t1、t2∈［2，+∞］且t1則f(t1)-f(t2)＝t1+-t2-
＝(t1-t2)+
＝(t1-t2)(1-)
＝∵ t1-t2<0 t1t2-1>0 t1t2>0
∴ f(t1)即 f(t)在t∈［2，+∞］為增函式.
∴ f(t)≥f(2)＝2+＝
即 ≥
注意：此題很可能發生y＝ +≥2的錯誤而證不到結論，需特別小心.
分析二注意到x2+4>0，聯想到三角公式1+ty2θ＝sec2θ，可令x2＝4ty2θ，利用三角換元法可證得：
原式＝＝＝
＝+＝(++cos2θ)- cos2θ≥3-＝
當且僅當＝cos2θ，即cosθ＝1時取等號.
注意：從式子+往後證時，易犯這樣的錯誤.
由+＝++≥3·
而得不到結論，錯誤原因還是在於應用均值定理時等號不能取到.
例2 已知a、b、c、d∈r，求證ac+bd≤.
分析一可用分析法證明.
證法一：當ac+bd≤0時，命題顯然成立.
當ac+bd≥0時，要證原不等式成立.
即證：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即證：2abcd≤b2c2+a2d2
即 (bc-ad)2≥0 顯然成立
所以，原不等式成立.
分析二可用綜合法證明.
∵ (a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
＝(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2
∴ ≥｜ac+bd｜≥ac+bd.
分析三可用比較法證明.
∵ (a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2＝(bc-ad)2≥0
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
∴ ≥｜ac+bd｜≥ac+bd
分析四可用放縮法證明.
為了避免討論，由ac+bd≤｜ac+bd｜.
可以轉化求證：｜ac+bd｜≤下同證法一.
分析五可用換元法證明.
設 (r、r均為變數)
則 ac+bd＝rrcos(θ-)≤｜rr｜
而｜rr｜＝·
∴ ac+bd≤
分析六可用構造法證明.
設f(x)＝(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+c2+d2
若a2+b2＝0 即a＝b＝0 原不等式顯然成立.
若a2+b2≠0，新證不等式轉化為證：4(ac+bd)2-4(c2+d2)(a2+b2)≤0，即為該函式關於x的判別式δx≤0，問題轉化為證明該函式的函式值非負.
∵ f(x)＝(a2x2+2acx+c2)+(b2x2+2bdx+d2)
＝(ax+c)2-(bx+d)2≥0
故 δx≤0
即 ［2(ac+bd)］2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0
∴ 原不等式成立.
例3 實數a、b、c、d滿足a+b＝c+d＝1且ac+bd>1
求證：a、b、c、d中至少有乙個是負數.
分析本題自接證明結論很困難，所以可考慮用反證法.
證法一：假設a、b、c、d都是非負數
由a+b＝c+d＝1知a、b、c、d∈［0，1］
從而 ac≤≤
bd≤≤
∴ ac+bd≤≤1
與已知ac+bd>1矛盾
∴ a、b、c、d至少有乙個是負數.
證法二：假設a、b、c、d都是非負數，則
1＝(a+b)(c+d)＝(ac+bd)+(ab+bc)≥ac+bd
這與已知 ac+bd>1矛盾
∴ a、b、c、d中至少有乙個負數.
【難題巧解點撥】
例1 已知a、b∈r+且a≠b，滿足a3-b3＝a2-b2.
求證：1分析由已知a3-b3＝a2-b2且a≠b可推出a2+ab+b2＝a+b，此時題中涉及到ab,a+b,a2+b2.可利用均值不等式來放縮進行證明，也可用換元法來證明.
證明一：∵ a3-b3＝a2-b2 (a≠b)
∴ a2+ab+b2＝a+b
∴ (a+b)2-ab＝a+b
∴ ab＝(a+b)2-(a+b)
∵ a、b∈r+ ∴ (a+b)2-(a+b)>0 ∴ a+b>1 ①
又∵ ab＝(a+b)2-(a+b)<( )2
∴ (a+b)2<(a+b)
∴ (a+b)<
由①②可得1證明二：由證法一可知ab＝(a+b)2-(a+b)
令a+b＝u，則ab＝u2-u.
把a、b看作是方程x2-ux+u2-u＝0的兩個不等實根.
∴ δ＝u2-4×1×(u2-u)
＝-3u2+4u>0
即 u(3u-4)<0 ∴ 0又 ab＝u2-u>0 ∴u>1
∴ 1例2 已知函式f(x)＝ax2+bx+c(a>b>c)影象上有兩點a(m,f(m1)),b(m2,f(m2))滿足f(1)＝0且a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)·f(m2)＝0.
(1)求證：b≥0
(2)問：能否保證f(m1+3)和f(m2+3)中至少有乙個正數?請證明你的結論.
解：(1)∵f(m1),f(m2)滿足方程a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)·f(m2)＝0
即 ［a+f(m1)］［a+f(m2)］＝0
∴ f(m1)＝-a或f(m2)＝-a
∴ m1或m2是方程ax2+bx+c＝-a的實根.
∴ δx＝b2-4a(c+a)≥0 即b2≥4a(a+c)①
又f(1)＝0 ∴ a+b+c＝0且a>b>c
∴ a>0 c<0且b＝-a-c
∴ ①式化為b2≥-4ab 即b(b+4a)≥0
∴ b(3a-c)≥0
∵ a>0 c<0 ∴ 3a-c>0 ∴ b≥0
(2)∵ f(1)＝0 ∴ f(x)＝0的兩根為x1＝1 x2＝
∵ x1x2＝，由已知f(m1)＝-a或f(m2)＝-a
不妨設f(m1)＝-a.
∵ f(x)＝a(x-x1)(x-x2)＝a(x-1)(x-)
∴ a(m1-1)(m1-)＝-a<0 即f(m1)<0②
又 a>b>c a>0 c<0 ∴ <0
由②式可得下面考察m1+3與1的大小關係：
∵ b＝-a-c a>b>c
∴ a>-a-c>c ∴ -2<<-
而 m1+3>+3>1
又 ∵f(x)在(1,+∞)上是增函式.
∴f(m1+3)>f(1)＝0
同理：當f(m2)＝-a時，則有f(m2+3)>0
故 f(m1+3)或f(m2+3)中至少有乙個正數.
注意：本題將函式的性質、方程的根與不等式結合起來，注重綜合應用知識的能力.
【命題趨勢分析】
1.利用不等式的性質、均值定理、作差和作商比較法、分析法等可比較兩個數的大小.
2.利用均值定理、換元法、判別式法等數學思想方法可求函式的值域及最值問題.
3.利用不等式的各種證明方法證各類不等式.
不等式高考複習二 不等式的證明
二.教學目的 掌握不等式證明的方法與技巧 三.教學重點 難點 不等式的證明方法 四.知識分析 不等式證明的方法技巧 方法一用比較法證明不等式 比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，包括作差法和作商法。作差法的一般步驟為 作差 變形 判斷符號 其中變形...
不等式的證明 二
一 複習目標 1 了解用反證法 換元法 放縮法等方法證明簡單的不等式 二 知識要點 1 反證法的一般步驟 反設 推理 匯出矛盾 得出結論 2 換元法 一般由代數式的整體換元 三角換元，換元時要注意等價性 3 放縮法 要注意放縮的適度，常用的方法是 捨去或加上一些項 將分子或分母放大 或縮小 三 課前...
二次不等式與不等式證明
班別 姓名學號 1.不等式 的解集為2.不等式的解集是 3.不等式的解集為 4.已知函式則不等式的解集為 5 關於x的不等式 0的解集為m，若0 m，則實數m的取值範圍是 6.已知關於的不等式的解集是.則 7 若函式y 的定義域為r，則k的取值範圍是 8 若關於x的不等式 a2 1 x2 a 1 x...