1.（2009全國卷ⅱ理）設函式有兩個極值點，且
（i）求的取值範圍，並討論的單調性；（ii）證明
解: （i）令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大於的不相等的實根，其充要條件為，得
⑴當時，在內為增函式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵當時，在內為減函式；
⑶當時，在內為增函式；
（ii）由（i），設，則
⑴當時，在單調遞增；
⑵當時，，在單調遞減。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故2.（2009全國卷ⅰ理）設函式在兩個極值點，且（i）求滿足的約束條件，並在下面的座標平面內，畫出滿足這些條件的點的區域；(ii)證明：
分析（i）這一問主要考查了二次函式根的分布及線性規劃作可行域的能力。
大部分考生有思路並能夠得分。由題意知方程有兩個根
則有故有
右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區域。
(ii)這一問考生不易得分，有一定的區分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標中的，（如果消會較繁瑣）再利用的範圍，並借助（i）中的約束條件得進而求解，有較強的技巧性。
解： 由題意有
又 消去可得．
又，且3.（天津理21）已知函式．（ⅰ）求函式的單調區間和極值；
（ⅱ）已知函式的圖象與函式的圖象關於直線對稱．證明當時，．（ⅲ）如果，且，證明．
【解】（ⅰ）．令，則．
當變化時，的變化情況如下表：
所以在區間內是增函式，在區間內是減函式．
函式在處取得極大值．且．
（ⅱ）因為函式的圖象與函式的圖象關於直線對稱，
所以，於是．
記，則，，
當時，，從而，又，所以，
於是函式在區間上是增函式．
因為，所以，當時，．因此．
（ⅲ）(1) 若，由（ⅰ）及,得,與矛盾；
(2) 若，由由（ⅰ）及,得,與矛盾；
根據(1)，(2)可得．不妨設．
由（ⅱ）可知，所以．
因為，所以，又，由（ⅰ），在區間內是增函式，
所以 ，即．
4.（四川文22）已知函式，．
（ⅰ）設函式f(x)＝，求f(x)的單調區間與極值；
（ⅱ）設，解關於x的方程；
（ⅲ）設，證明：．
本小題主要考查函式導數的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數形結合、函式與方程、分類與整合等數學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力．
解：（ⅰ），．令，得（捨去）．當時．；當時，，故當時，為增函式；當時，為減函式．為的極大值點，且．
（ⅱ）方法一：原方程可化為，
即為，且
①當時，，則，即，
，此時，∵，
此時方程僅有一解．
②當時，，由，得，，
若，則，方程有兩解；
若時，則，方程有一解；
若或，原方程無解．
方法二：原方程可化為，
即，①當時，原方程有一解；
②當時，原方程有二解；
③當時，原方程有一解；
④當或時，原方程無解．
（ⅲ）由已知得，
．設數列的前n項和為，且（）
從而有，當時，．又．
即對任意時，有，又因為，所以．
則，故原不等式成立．
5.（四川理22）已知函式，．
（ⅰ）設函式f(x)＝f(x)－h(x)，求f(x)的單調區間與極值；
（ⅱ）設，解關於x的方程；
（ⅲ）試比較與的大小．
本小題主要考查函式導數的應用、不等式的證明、解方程等基本知識，考查數形結合、函式與方程、分類與整合、特殊與一般等數學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力．
解：（ⅰ）由（）知，，令，得．
當時，；當時，．故當時，是減函式；時，是增函式．函式在處有得極小值．
（ⅱ）方法一：原方程可化為，
即為，且
①當時，，則，即，
，此時，∵，
此時方程僅有一解．
②當時，，由，得，，
若，則，方程有兩解；
若時，則，方程有一解；
若或，原方程無解．
方法二：原方程可化為，
即，①當時，原方程有一解；
②當時，原方程有二解；
③當時，原方程有一解；
④當或時，原方程無解．
（ⅲ）由已知得．
設數列的前n項和為，且（）
從而，當時，．又．
即對任意時，有，又因為，所以．
故．6.（全國ⅱ理22）（ⅰ）設函式，證明：當＞0時，＞0；
（ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然後放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：＜＜.
【命題立意】：本小題主要考查函式、導數、不等式證明及等可能事件的概率等知識。通過運用導數知識解決函
數、不等式問題,考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力.
（ⅰ），（僅當時）故函式在單調遞增.當時，，故當＞0時，＞0.
（ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然後放回，連續抽取20次，則抽得的20個號碼互不相同的概率為，要證＜（）19＜.
先證： 即證
即證而………所以. 即
再證：，即證，即證，即證
由（ⅰ），當＞0時，＞0.令則，即 ，綜上有：
7.（遼寧文20）設函式=x+ax2+blnx，曲線y=過p（1,0），且在p點處的切斜線率為2．（i）求a，b的值；（ii）證明：≤2x-2．
解：（i） 由已知條件得，解得
（ii），由（i）知
設則而8.（遼寧理21）已知函式．（i）討論的單調性；（ii）設，證明：當時，；（iii）若函式的影象與x軸交於a，b兩點，線段ab中點的橫座標為，證明：（）＜0．
解：（i）
（i）若單調增加.
（ii）若
且當所以單調增加，在單調減少.
（ii）設函式則
當.故當，
（iii）由（i）可得，當的影象與x軸至多有乙個交點，
故，從而的最大值為
不妨設由（ii）得從而
由（i）知，
9.（湖北理21）（ⅰ）已知函式，，求函式的最大值；
（ⅱ）設…，均為正數，證明：
（1）若……，則；
（2）若…=1，則…+。
解：（ⅰ）的定義域為，令，
在上遞增，在上遞減，故函式在處取得最大值
（ⅱ）（1）由（ⅰ）知當時有即，
∵，∴∵∴即
（2）①先證，令，則
由（1）知
∴；②再證…+，記
則於是由（1）得
所以…+。綜合①②，（2）得證
10.【2012高考山東理22】已知函式（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的單調區間；（ⅲ）設,其中為的導函式.證明：對任意.
解：（ⅰ），依題意，為所求.
（ⅱ）此時，記，，所以在，單減，又，所以，當時，，，單增；當時，，，單減.所以，增區間為（0，1）；減區間為（1，.
（ⅲ），先研究，再研究.① 記，，令，得，當，時，，單增；當，時，，單減 .所以，，即.
②記，，所以在,單減，所以，，即 ，.
11.【2012高考浙江理22】已知a＞0，br，函式．
(ⅰ)證明：當0≤x≤1時，(ⅰ)函式的最大值為|2a－b|﹢a；(ⅱ)＋|2a－b|﹢a≥0；
(ⅱ) 若﹣1≤≤1對x [0，1]恆成立，求a＋b的取值範圍．
【命題立意】本題主要考查不等式、利用導數研究函式的單調性等性質、線性規劃等知識點綜合運用能力，同時考查抽象概括、推理論證能力。
【答案】本題主要考察不等式，導數，單調性，
(ⅰ)(ⅰ)．當b≤0時，＞0在0≤x≤1上恆成立，此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；綜上所述：
函式在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a．亦即證在0≤x≤1上的最大值小於(或等於)|2a－b|﹢a，∵，∴令．當b≤0時，＜0在0≤x≤1上恆成立，此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；當b＜0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，
≤|2a－b|﹢a；綜上所述：函式在0≤x≤1上的最大值小於(或等於)|2a－b|﹢a．即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恆成立．
(ⅱ)由(ⅰ)知：函式在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a，且函式在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．∵﹣1≤≤1對x [0，1]恆成立，∴|2a－b|﹢a≤1．取b為縱軸，a為橫軸．則可行域為：和，目標函式為z＝a＋b．作圖如下：
由圖易得：當目標函式為z＝a＋b過p(1，2)時，有．
∴所求a＋b的取值範圍為：．
12.【2012高考遼寧理21】本小題滿分12分)
設，曲線與
直線在(0，0)點相切。(ⅰ)求的值。 (ⅱ)證明：當時，。
【命題意圖】本題主要考查函式的切線及恆成立問題，考查運算求解能力，是難題.
【解析】（1）由的影象過點，代入得
由在處的切線斜率為，又，得…3分
（2）（證法一）
由均值不等式，當時，，故記，
則，令，則當時，
（lby lfx）
因此在內是減函式，又由，得，所以
因此在內是減函式，又由，得，
於是當時12分
（證法二）
由（1）知，由均值不等式，當時，，故令，則，故，即，由此得，當時，，記，則當時，
，因此在內是減函式，又由，得，即
【點評】本題綜合考查導數的概念、幾何意義、導數在判斷函式單調性與最值中的運用。本題容易忽略函式的定義域，根據條件曲線與直線在(0，0)點相切，求出的值，然後，利用函式的單調性或者均值不等式證明即可。從近幾年的高考命題趨勢看，此型別題目幾乎年年都有涉及，因此，在平時要加強訓練。
本題屬於中檔題。
13.【2012高考天津理20】
已知函式的最小值為0，其中（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數的最小值；
（ⅲ）證明（）.
【答案】
（1）函式的定義域為
得：時，
（2）設， 則在上恆成立（*）
①當時，與（*）矛盾
②當時，符合（*）得：實數的最小值為
（3）由（2）得：對任意的值恆成立
取：當時， 得：，當時，
得：。【點評】試題分為三問，題面比較簡單，給出的函式比較常規，因此入手對於同學們來說沒有難度，第二問中，解含引數的不等式時，要注意題中引數的討論所有的限制條件，從而做到不重不漏；第三問中，證明不等式，應借助於導數證不等式的方法進行.
不等式證明教案
一 課前檢測 1 若，則的最小值是 2.已知，且，則的最大值為 b a 4 b 2 c 1 d 3.設 是正實數，則下列不等式中不成立的是 d ab cd 4.設x,y為正數,則 x y 的最小值為 b a 6b 9c 12d 15 二 知識梳理 1.比較法是證明不等式的乙個最基本的方法，分兩種形式...
利用導數證明不等式
函式與導數 三 核心考點 五 利用導數證明不等式 一 函式類不等式證明 函式類不等式證明的通法可概括為 證明不等式 的問題轉化為證明 進而構造輔助函式，然後利用導數證明函式的單調性或證明函式的最小值 最大值 大於或等於零 小於或等於零 例1 已知函式 1 討論函式的單調性 2 設，證明 當時，3 若...
利用導數證明不等式
在 上為增函式，f x 對 恆成立，即 對 恆成立 記則1 x e x，當 時，當 時，知 在 1 上為增函式,在 1,上為減函式,g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x ...