要點考向1：合情推理
例1：（2010·福建高考文科·ｔ１６）觀察下列等式：
1 cos2a=2-1;
2 cos4a=8- 8+ 1;
3 cos6a=32- 48+ 18- 1;
4 cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;
5 cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.
可以推測，m – n + p
【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對係數進行猜測求解．
【思路點撥】根據歸納推理可得．
【規範解答】觀察得：式子中所有項的係數和為1，，，又，，． 【答案】962．
要點考向2：演繹推理
例2：（2010·浙江高考理科·ｔ14）設，
將的最小值記為，則
其中【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關知識，熟練掌握相關的推理規則是關鍵．
【思路點撥】觀察的奇數項與偶數項的特點．
【規範解答】觀察表示式的特點可以看出，……，當為偶數時，；，，……，當為奇數時，．
【答案】．
要點考向3：直接證明與間接證明
例3：（2010·北京高考文科·ｔ20）
已知集合對於，，定義a與b的差為
a與b之間的距離為
（ⅰ）當n=5時，設，求，；
（ⅱ）證明：，且;
(ⅲ) 證明：三個數中至少有乙個是偶數
【命題立意】本題屬於創新題，考查了學生運用新知識的能力。本題情景是全新的，對學生的「學習能力」提出了較高要求。要求教師真正的重視學生的**性學習，更加注重學生「學習能力」、「創新能力」的培養．
【思路點撥】（i）（ⅱ）直接按定義證明即可；(ⅲ) 「至少」問題可採用反證法證明．
【規範解答】（ⅰ）＝（1,0,1,0,1）
3(ⅱ)設
因為，所以
從而由題意知
當時，當時，
所以(ⅲ)證明：設
記由（ⅱ）可知
所以中1的個數為k,中1的個數為
設是使成立的的個數。則
由此可知，三個數不可能都是奇數，
即三個數中至少有乙個是偶數．
注：（1）有關否定性結論的證明常用反證法或舉出乙個結論不成立的例子即可；
（2）綜合法和分析法是直接證明常用的兩個方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然後用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用。
要點考向4：數學歸納法
例4：等比數列{}的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函式且均為常數)的影象上.
（1）求r的值;
（11）當b=2時，記
證明：對任意的 ，不等式成立
【解析】因為對任意的,點，均在函式且均為常數的影象上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數列,所以,公比為,
（2）當b=2時，,
則,所以 .
下面用數學歸納法證明不等式成立.
1 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立.
2 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=
所以當時,不等式也成立.由①、②可得不等式恆成立.
注：（1）用數學歸納法證明與正整數有關的一些等式，命題關鍵在於「先看項」，弄清等式兩邊的構成規律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n=k到n=k+1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。
（2）在本例證明過程中，①考慮「n取第乙個值的命題形式」時，需認真對待，一般情況是把第乙個值供稿通項，判斷命題的真假，②在由n=k到n=k+1的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數學歸納法。
（3）在用數學歸納法證明的第2個步驟中，突出了兩個湊字，一「湊」假設，二「湊」結論，關鍵是明確n=k+1時證明的目標，充分考慮由n=k到n=k+1時，命題形式之間的區別和聯絡。
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．已知是的充分不必要條件，則是的（ a ）
（ａ） 充分不必要條件必要不充分條件
（ｃ） 充要條件既不充分也不必要條件
2．設a、b、c都是正數，則,,三個數（ d ）
a、都大於2b、至少有乙個大於2
c、至少有乙個不大於2d、至少有乙個不小於2
3．在△中，所對的邊分別為，且，則△一定是（ a ）
（ａ） 等腰三角形 （ｂ） 直角三角形 （ｃ）等邊三角形 （ｄ） 等腰直角三角形
4． 5.已知函式的定義域為，若對於任意的，都有，則稱為上的凹函式.由此可得下列函式中的凹函式為 （ c
bcd）
5.給定正整數n(n≥2)按下圖方式構成三角形數表；第一行依次寫上數1，2，3，…，n，在下面一行的每相鄰兩個數的正中間上方寫上這兩個數之和，得到上面一行的數（比下一行少乙個數），依次類推，最後一行（第n行）只有乙個數.例如n=6時數表如圖所示，則當n=2 007時最後一行的數是（ c ）
(a)251×22 007 (b)2 007×22 006 (c)251×22 008 (d)2 007×22 005
6.如圖，座標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫、縱座標分別對應數列(n∈n*)的前12項（即橫座標為奇數項，縱座標為偶數項），按如此規律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等於( b )
(a)1 003 (b)1 005c)1 006 (d)2 011
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．對於等差數列有如下命題：「若是等差數列，，是互不相等的正整數，則有」。模擬此命題，給出等比數列相應的乙個正確命題是
8．如果△a1b1c1的三個內角的余弦值分別等於△a2b2c2的三個內角的正弦值，則△a1b1c1是三角形，△a2b2c2是三角形.（用「銳角」、「鈍角」或「直角」填空）
9．(2010漢沽模擬)在直角三角形中，兩直角邊分別為，設為斜邊上的高，則，由此模擬：三稜錐的三個側稜兩兩垂直，且長分別為，設稜錐底面上的高為，則
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10.觀察下表：
1，2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……問：（1）此表第n行的最後乙個數是多少？
（2）此表第n行的各個數之和是多少？
（3）2010是第幾行的第幾個數?
（4）是否存在n∈n*，使得第n行起的連續10行的所有數之和為227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.
11．已知數列：，，，（是正整數），與數列：，，，，（是正整數）．記．
（1）若，求的值；
（2）求證：當是正整數時，；
（3）已知，且存在正整數，使得在，，，中有4項為100．求的值，並指出哪4項為100．
12．已知數列，，，．記．．
求證：當時，
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）。
參***
一、選擇題
1．【解析】選ａ.反證法的原理：「原命題」與「逆否命題」同真假，即：若則.
2．【解析】選d.
3．【解析】選a.，，，又因為，；
4．【解析】選c.可以根據影象直觀觀察；對於（c）證明如下：欲證，即證，即證，即證，顯然，這個不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得證；
5．【解析】選c.由題意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行時，最後一行數為(n+1)·2n-2，
所以當n=2 007時，最後一行數為2 008×22 005=251×22 008.
二、填空題
6．【解析】選b.觀察點座標的規律可知，偶數項的值等於其序號的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,
又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,
∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.
7．【解析】這是乙個從等差數列到等比數列的平行模擬，等差數列中模擬到等比數列經常
是，模擬方法的關鍵在於善於發現不同物件之間的「相似」，「相似」是模擬的基礎。 .
答案：若是等比數列，，是互不相等的正整數，則有。
8．答案：銳角鈍角 9．答案：
三、解答題
10．【解析】（1）∵第n+1行的第1個數是2n，∴第n行的最後乙個數是2n-1.
（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）=3·22n-3-2n-2.
（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，
∴2 010在第11行，該行第1個數是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987個數.
（4）設第n行的所有數之和為an，第n行起連續10行的所有數之和為sn.
則an=3·22n-3-2n-2,an+1=3·22n-1-2n-1，an+2=3·22n+1-2n，…，an+9=3·22n+15-2n+7,
∴sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)
=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5時，s5=227-128-213+8=227-213-120.
∴存在n=5使得第5行起的連續10行的所有數之和為227-213-120.
11．【解析】（1）
（2）用數學歸納法證明：當
1 當n=1時，等式成立
2 假設n=k時等式成立，即
那麼當時，
等式也成立.
根據①和②可以斷定：當
（3）… ∵ 4m+1是奇數，均為負數，∴ 這些項均不可能取到100.
此時，為100.
12．【解析】（ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
數學專題十五推理與證明 教師版
學科網3年高考2年模擬1年原創精品高考系列 專題十五推理與證明 考點定位 2010考綱解讀和近幾年考點分布 推理與證明是數學的基礎思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結論和發現結論 探索和提供思路的作用，有利於創新意識...
第三講推理與證明 教師版
1.合情推理包括和 歸納推理 從個別事實中推演出 模擬推理 根據兩個 或兩類 物件之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其它方面也或 2.演繹推理 三段論 例1.已知 通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題 解 一般形式 將一般形式寫成 等均正確。變式訓練1 觀察式子 則可歸納出式子為 a...
13 2直接證明與間接證明 教師版
基礎知識 1.直接證明 2.間接證明 基礎練習 1.判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 綜合法是直接證明，分析法是間接證明 2 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的充要條件 3 用反證法證明結論 a b 時，應假設 a 4 反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾 5 在解決問題...