2.2 直接證明和間接證明（1）
1．用反證法證明命題「設為實數，則方程至少有乙個實根」時，要做的假設是（ ）
a.方程沒有實根
b.方程至多有乙個實根
c.方程至多有兩個實根
d.方程恰好有兩個實根
【答案】a
【解析】反證法的步驟第一步是假設命題反面成立，而「至少有乙個根」的否定是「沒有」，故選a.
考點：反證法.
2．用反證法證明命題：若整數係數的一元二次方程有有理實數根，那麼，，中至少有乙個是偶數，下列假設中正確的是（ ）
a.假設，，至多有乙個是偶數
b.假設，，至多有兩個偶數
c.假設，，都是偶數
d.假設，，都不是偶數
【答案】d
【解析】
試題分析：用反證法法證明數學命題時，應先假設要證的命題的反面成立，即要證的命題的否定成立，而命題：「若整數係數一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，則a，b，c中至少有乙個是偶數」的否定為：
「假設a，b，c都不是偶數」，故選：b．
考點：反證法．
3．設都是正數，則三個數（ ）
a．都大於b．至少有乙個不小於
c．至少有乙個大於 d．至少有乙個不大於
【答案】b
【解析】
試題分析：都是正數，故三個數的
當且僅當時，等號成立，故三個數至少有乙個不小於2.
考點：反證法與放縮法．
4．用反證法證明命題「+是無理數」時，假設正確的是（ ）
a．假設是有理數b．假設是有理數
c．假設或是有理數 d．假設+是有理數
【答案】d
【解析】假設結論的反面成立，+不是無理數，則+是有理數．
故選d5．用反證法證明命題「」,其反設正確的是( )
ab.cd.
【答案】b
【解析】
試題分析：反證法就是從反論題入手，把命題結論的否定當作條件。所以，用反證法證明命題「」,其反設正確的是「」，選b。
考點：反證法。
點評：簡單題，反證法就是從反論題入手，把命題結論的否定當作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。在應用反證法證題時，一定要用到「反設」，否則就不是反證法。
6．用反證法證明「如果a>b，那麼》」假設的內容應是( )
ab. <
c. ＝且< d. ＝或<
【答案】d
【解析】
試題分析：分析：反證法是假設命題的結論不成立，即結論的反面成立，所以只要考慮》的反面即可。因為，則可知＝或《故選d.
考點：反證法
點評：本題主要考查了不等式證明中的反證法，屬於基礎題．
7．用反證法證明命題「若都是正數，則三數中至少有乙個不小於」，提出的假設是
a．不全是正數 b．至少有乙個小於
c．都是負數 d．都小於
【答案】d
【解析】
試題分析：∵「至少乙個」的否定為「乙個也沒有」，∴「 三數中至少有乙個不小於」否定為「都小於」，即提出的假設是「都小於」，故選d
考點：本題考查了反證法的運用
點評：反證法的假設就是對結論的否定，所以掌握常見的否定形式是解決此類問題的關鍵
8．用反證法證明命題「若，則全為0」其反設正確的是（ ）
a. 至少有乙個不為0 b. 至少有乙個為0
c. 全不為0d. 中只有乙個為0
【答案】a
【解析】解：因為用反證法證明命題「若，則全為0」其反
設至少有乙個不為0 ，選a
9．設，，並且對於任意，成立. 猜想的表示式為
(a) (bcd)
【答案】b
【解析】
令，則，而，，而令得，聯想等比數列，猜想，故選擇b
10．實數滿足，則的值
a.一定是正數 b.一定是負數 c.可能是0 d. 正、負不確定
【答案】b
【解析】
考點：分式的化簡求值．
分析：由a+b+c=0，abc＞0，得到a，b，c中，必有兩負一正，不妨設a＜0，b＜0，c＞0，且|a|＜|c|，則 ＞，得到-＞，而＜0，因此得到+ +＜0．
解：∵a+b+c=0，
∴a，b，c必有正數和負數，或都為0，
又∵abc＞0，
∴a，b，c中，必有兩負一正，
不妨設a＜0，b＜0，c＞0，且|a|＜|c|，
∴＞，∴-＞，而＜0，
所以++＜0，
故選b．
11．用數學歸納法證明:…＞(n∈n*，且n＞2)時，第二步由
「n=k到n=k+1」的證明，不等式左端增添代數式是（ ）
ab. ＋－
cd．－
【答案】b
【解析】略
12．已知且,計算,猜想等於( )
abcd．
【答案】b
【解析】略
13．觀察式子：，…，可歸納出式子（ ）
ab、cd、
【答案】c
【解析】略
14．比較大小
【答案】
【解析】
試題分析：要比較、的大小，只須比較、，要比較、兩數的大小，只須比較的大小，顯然，從而．
考點：1．數或式的大小比較；2．分析法．
15．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證： a.
【答案】見解析
【解析】要證a，只需證b2－ac<3a2.∵a＋b＋c＝0，∴只需證b2＋a(a＋b)<3a2，只需證2a2－ab－b2>0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0，∴(a－b)(a－c)>0顯然成立．故原不等式成立．
16．－2與－的大小關係是
【答案】－2>－
【解析】由分析法可得，要證－2>－，只需證＋>＋2，即證13＋2>13＋4，即》2.因為42>40，所以－2>－成立．
17．用反證法證明命題「a，b∈n，ab可被5整除，那麼a，b中至少有乙個能被5整除」，那麼反設的內容是
【答案】a，b都不能被5整除
【解析】
試題分析：反證法是「間接證明法」一類，是從反方向證明的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾。
命題「a，b∈n，ab可被5整除，那麼a，b中至少有乙個能被5整除」，那麼反設的內容是「a，b都不能被5整除」。
考點：本題主要考查反證法的概念、方法步驟。
點評：簡單題，反證法是「間接證明法」一類，是從反方向證明的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾。
18．用反證法證明命題 「對任意、」，正確的反設為
【答案】存在,
【解析】解：因為用反證法證明命題 「對任意、」，正確的反設為存在,
19．觀察下列等式：
1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-（1+2+3+4），…由此推測第個等式為不必化簡結果）
【答案】1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1 (1+2+3+…+n)
【解析】觀察左右式子結構可知第n個等式應為1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+3+…+n)
20．（1）求證：當時，；
（2）證明： 不可能是同乙個等差數列中的三項.
【答案】（1）證明過程詳見試題解析； （2）證明過程詳見試題解析.
【解析】
試題分析：（1）證明過程可以使分析法，要證成立，需證成立；而顯然成立，所以原結論成立；
（2）用反證法證明：即先假設結論「不可能是同乙個等差數列中的三項」的反面成立，最終推出公差即是無理數又是有理數的矛盾，所以假設不正確，原結論成立.
1)當且僅當時取等號)
（其他證法，如分析法酌情給分） 7分
2)假設是同乙個等差數列中的三項，分別設為
則為無理數，又為有理數
所以，假設不成立，即不可能是同乙個等差數列中的三項 14分
考點：推理與證明.
21．已知實數滿足，證明：．
【答案】見解析
【解析】
試題分析：有已知條件，可得，，然後得到，展開進行整理即可。
證明：證法一，∴，，
2分∴，即， 4分
∴，6分
即，8分
證法二：要證，
只需證 2分
只需證只需證4分
即6分，∴，，∴成立．
∴要證明的不等式成立8分
考點：絕對值不等式；不等式證明的基本方法．
22．證明以下不等式：
(1)已知，，求證：；
（2）若，，求證：.
【答案】見解析
【解析】（1）建構函式
因為對一切xr，恒有≥0，所以≤0,
從而得(另解：利用重要不等式)
（2）建構函式
因為對一切xr，都有≥0，所以△=≤0,
從而證得：.
23．的三個內角成等差數列，求證：
【答案】詳見解析.
【解析】
試題分析：採用分析證明的方法，根據結論，可得；再利用a，b，c成等差數列，可得，利用餘弦定理可得成立，代入求解即可證明結論．
證明：要證原式成立，只要證 （3分）
即證，即 （7分）
而三個內角成等差數列，上式成立（11分）
故原式大成立（12分）.
考點：1.綜合法與分析法；2.等差數列的性質．
24．已知下列三個方程：至少有乙個方程有實數根.求實數的取值範圍.
【答案】
【解析】
試題分析：至少有乙個方程有實根的對立面是三個方程都沒有根，由於正面解決此問題分類較多，而其對立面情況單一，故求解此類問題一般先假設沒有乙個方程有實數根，然後由根的判別式解得三方程都沒有根的實數a的取值範圍，其補集即為個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有乙個方程有實根成立的實數a的取值範圍．此種方法稱為反證法.
試題解析：假設三個方程：都沒有實數根，則，即，得
考點：反證法與放縮法．
25．abcd為直角梯形，∠bcd＝∠cda＝90°，ad＝2bc＝2cd，p為平面abcd外一點，且pb⊥bd.
(1)求證：pa⊥bd；
(2)若pc與cd不垂直，求證：pa≠pd.
13 2直接證明與間接證明 教師版
基礎知識 1.直接證明 2.間接證明 基礎練習 1.判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 綜合法是直接證明，分析法是間接證明 2 分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的充要條件 3 用反證法證明結論 a b 時，應假設 a 4 反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾 5 在解決問題...
22直接證明與間接證明
目標認知 學習目標 1 結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法 反證法 2 了解綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點.重點 根據問題的特點，結合綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點，選擇適當的證明方法或把不同的證明方法結合使用.難點 根據問...
22直接證明與間接證明教學設計教案
一 知識與技能目標 1 了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法 2 了解綜合法和分析法的思維過程和特點 二 過程與方法目標 1 通過對例項的分析 歸納與總結，增強學生的理性思維能力 2 通過實際演練，使學生體會證明的必要性，並增強他們分析問題 解決問題的能力 三 情感 態度及價值觀 通過本節課的...