2.2 直接證明與間接證明(3課時)
第一課時 2.2.1 綜合法和分析法（一）
教學要求：結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.
教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.
教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.
教學過程：
一、複習準備：
1. 已知 「若，且，則」，試請此結論推廣猜想.
（答案：若，且，則）
2. 已知，，求證：.
先完成證明 → 討論：證明過程有什麼特點？
二、講授新課：
1. 教學例題：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：運用什麼知識來解決？（基本不等式） → 板演證明過程（注意等號的處理）
→ 討論：證明形式的特點
② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立.
框圖表示： 要點：順推證法；由因導果.
③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證.
④ 出示例2：在△abc中，三個內角a、b、c的對邊分別為a、b、c，且a、b、c成等差數列，a、b、c成等比數列. 求證：為△abc等邊三角形.
分析：從哪些已知，可以得到什麼結論？ 如何轉化三角形中邊角關係？
→ 板演證明過程 → 討論：證明過程的特點.
→ 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關係的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）
2. 練習：
1 為銳角，且，求證：. （提示：算）
② 已知求證：
3. 小結：綜合法是從已知的p出發，得到一系列的結論，直到最後的結論是q. 運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.
三、鞏固練習：
1. 求證：對於任意角θ，. （教材p52 練習 1題）
（兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）
2.的三個內角成等差數列，求證：.
3. 作業：教材p54 a組 1題.
第二課時 2.2.1 綜合法和分析法（二）
教學要求：結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.
教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.
教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.
教學過程：
一、複習準備：
1. 提問：基本不等式的形式？
2. 討論：如何證明基本不等式.
（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）
二、講授新課：
1. 教學例題：
① 出示例1：求證.
討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發，尋找結論成立的充分條件？
→ 板演證明過程 （注意格式）
→ 再討論：能用綜合法證明嗎？ → 比較：兩種證法
② 提出分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.
框圖表示： 要點：逆推證法；執果索因.
③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：.
先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.
④ 出示例4：見教材p48. 討論：如何尋找證明思路？（從結論出發，逐步反推）
⑤ 出示例5：見教材p49. 討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發，逐步探求）
2. 練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那麼截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為，周長為l的正方形邊長為，截面積為，問題只需證： >.
3. 小結：分析法由要證明的結論q思考，一步步探求得到q所需要的已知，直到所有的已知p都成立；
比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從「欲知」想「需知」(分析)，從「已知」推「可知」（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑. （框圖標意）
三、鞏固練習：
1. 設a, b, c是的△abc三邊，s是三角形的面積，求證：.
略證：正弦、餘弦定理代入得：，
即證：，即：，即證：（成立）.
2. 作業：教材p52 練習 2、3題.
第三課時 2.2.2 反證法
教學要求：結合已經學過的數學例項，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.
教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.
教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.
教學過程：
一、複習準備：
1. 討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）
2. 提出問題： 平面幾何中，我們知道這樣乙個命題：「過在同一直線上的三點a、b、c不能作圓」. 討論如何證明這個命題？
3. 給出證法：先假設可以作乙個⊙o過a、b、c三點，
則o在ab的中垂線l上，o又在bc的中垂線m上，
即o是l與m的交點。
但 ∵a、b、c共線，∴l∥m(矛盾)
∴ 過在同一直線上的三點a、b、c不能作圓.
二、講授新課：
1. 教學反證法概念及步驟：
① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那麼
② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.
證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 → 從假設出發，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立
應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.
方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由乙個命題與其逆否命題同真假，通過證明乙個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.
注：結合準備題分析以上知識.
2. 教學例題：
① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？
與教材不同的證法：反設ab、cd被p平分，∵p不是圓心，鏈結op，
則由垂徑定理：opab，opcd，則過p有兩條直線與op垂直（矛盾），∴不被p平分.
② 出示例2：求證是無理數. （ 同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為）
證：假設是有理數，則不妨設（m,n為互質正整數），
從而：，，可見m是3的倍數.
設m=**（p是正整數），則，可見n 也是3的倍數.
這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）. ∴不可能，∴是無理數.
③ 練習：如果為無理數，求證是無理數.
提示：假設為有理數，則可表示為（為整數），即.
由，則也是有理數，這與已知矛盾. ∴是無理數.
3. 小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，匯出矛盾，從而說明原結論正確.
注意證明步驟和適應範圍（「至多」、「至少」、「均是」、「不都」、「任何」、「唯一」等特徵的問題）
三、鞏固練習： 1. 練習：教材p54 1、2題 2. 作業：教材p54 a組3題.
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...
直接證明與間接證明
一 目標與策略 明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數！學習目標 結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法 反證法 了解綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點.重點難點 重點 根據問題的特點，結合綜合法 分析法和反證...