直接證明與間接證明

教學過程

課堂匯入

已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。

下面進入我們今天的學習！

複習預習

1、綜合法從已知出發，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止．

2、分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止．

3、反證法的三步驟：反設、歸謬、作結。

知識講解

考點1直接證明

(1) 定義：直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法．

(2) 一般形式

a b c … 本題結論．

(3) 綜合法

① 定義：從已知條件出發，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止．這種證明方法稱為綜合法．

② 推證過程

… …(4) 分析法

① 定義：從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止．這種證明方法稱為分析法．

② 推證過程

… …考點2間接證明

(1) 常用的間接證明方法有反證法、正難則反等．

(2) 反證法的基本步驟

① 反設——假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真．

② 歸謬——從反設和已知出發，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果．

③ 存真——由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立．

例題精析

例1 　數列的前n項和記為sn，已知a1＝1，an＋1＝sn(n＝1，2，3，…)，證明：

(1) 數列是等比數列；

(2) sn＋1＝4an.

【答案】證明：(1) ∵ an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn(n＝1，2，3，…)，∴ (n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，

整理得nsn＋1＝2(n＋1)sn，∴＝2·，

即＝2，∴ 數列是等比數列．

(2) 由(1)知：＝4·(n≥2)，於是sn＋1＝4·(n＋1)·＝4an(n≥2)．又a2＝3s1＝3，∴ s2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，

∴ 對一切n∈n*，都有sn＋1＝4an.

【解析】證明：(1) ∵ an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn(n＝1，2，3，…)，∴ (n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，

整理得nsn＋1＝2(n＋1)sn，∴＝2·，

即＝2，∴ 數列是等比數列．

(2) 由(1)知：＝4·(n≥2)，於是sn＋1＝4·(n＋1)·＝4an(n≥2)．又a2＝3s1＝3，∴ s2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，

∴ 對一切n∈n*，都有sn＋1＝4an.

例2 設a、b、c均為大於1的正數，且ab＝10，求證：logac＋logbc≥4lgc.

【答案】由於a>1，b>1，c>1，故要證明logac＋logbc≥4lgc，只要證明＋≥4lgc，即≥4，因為ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要證明≥4，由於a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0【解析】由於a>1，b>1，c>1，

故要證明logac＋logbc≥4lgc，

只要證明＋≥4lgc，即≥4，

因為ab＝10，故lga＋lgb＝1.

只要證明≥4，由於a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0所以原不等式成立．

例3 　證明：，，不能為同一等差數列中的三項．

【答案】假設，，為同一等差數列的三項，則存在整數m、n滿足

①×n－②×m得n－m＝(n－m)，兩邊平方得3n2＋5m2－2mn＝2(n－m)2，左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數≠無理數，故假設不正確，即，，不能為同一等差數列的三項．

【解析】假設，，為同一等差數列的三項，則存在整數m、n滿足

例4如圖，abcd為直角梯形，∠bcd＝∠cda＝90°，ad＝2bc＝2cd，p為平面abcd外一點，且pb⊥bd.

(1) 求證：pa⊥bd；

(2) 若pc與cd不垂直，求證：pa≠pd.

【答案】證明：(1) 因為abcd為直角梯形，ad＝ab＝bd，

所以ad2＝ab2＋bd2，因此ab⊥bd.

又pb⊥bd，ab∩pb＝b，ab，pb平面pab，

所以bd⊥平面pab，

又pa平面pab，所以pa⊥bd.

(2) 假設pa＝pd，取ad中點n，鏈結pn、bn，

則pn⊥ad，bn⊥ad，且pn∩bn＝n，

所以ad⊥平面pnb，得pb⊥ad.

又pb⊥bd，且ad∩bd＝d，得pb⊥平面abcd，所以pb⊥cd.又因為bc⊥cd，且pb∩bc＝b，所以cd⊥平面pbc，所以cd⊥pc，與已知條件pc與cd不垂直矛盾，所以pa≠pd.

【解析】證明：(1) 因為abcd為直角梯形，ad＝ab＝bd，

所以ad2＝ab2＋bd2，因此ab⊥bd.

又pb⊥bd，ab∩pb＝b，ab，pb平面pab，

所以bd⊥平面pab，

又pa平面pab，所以pa⊥bd.

(2) 假設pa＝pd，取ad中點n，鏈結pn、bn，

則pn⊥ad，bn⊥ad，且pn∩bn＝n，

所以ad⊥平面pnb，得pb⊥ad.

又pb⊥bd，且ad∩bd＝d，得pb⊥平面abcd，所以pb⊥cd.又因為bc⊥cd，且pb∩bc＝b，所以cd⊥平面pbc，所以cd⊥pc，與已知條件pc與cd不垂直矛盾，所以pa≠pd.

課程小結

1. 分析法的特點是從未知看已知，逐步靠攏已知，綜合法的特點是從已知看未知，逐步推出未知．分析法和綜合法各有優缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較煩；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便於思考，實際證明時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然後再用綜合法敘述出來．

2. 反證法是從否定結論出發，經過邏輯推理，匯出矛盾，說明結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法．適宜用反證法證明的數學命題：①結論本身是以否定形式出現的一類命題；②關於唯一性、存在性的命題；③結論以「至多」「至少」等形式出現的命題；④結論的反面比原結論更具體更容易研究的命題．

直接證明與間接證明

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